若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,則有x1+x2=-
b
a
x1x2=
c
a
,由上式可知,一元二次方程的兩根和、兩根積是由方程的系數(shù)確定的,我們把這個關(guān)系稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.若α,β是方程x2-x-1=0的兩根,記S1=α+β,S222,…,Snnn,
(1)S1=
 
S2=
 
S3=
 
S4=
 
直接寫出結(jié)果)
(2)當(dāng)n為不小于3的整數(shù)時,由(1)猜想Sn,Sn-1,Sn-2有何關(guān)系?
(3)利用(2)中猜想求(
1+
5
2
)7+(
1-
5
2
)7
的值.
分析:(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,寫出α+β,αβ的值,然后運(yùn)用完全平方公式和立方和公式進(jìn)行計算,求出S1,S2,S3,S4的值.
(2)利用(1)中S2=3,S3=4,S4=7,猜想Sn=Sn-1+Sn-2,然后由α,β是方程的根,得到α2=α+1,β,2=β+1進(jìn)行證明.
(3)根據(jù)(2)中的猜想得到上式為S7=S6+S5進(jìn)行計算求出式子的值.
解答:解:(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有:
α+β=1,αβ=-1.
∴S1=α+β=1.
S222=(α+β)2-2αβ=1+2=3.
S333=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)2-3αβ=1+3=4.
S444=(α222-2α2β2=9-2=7.
(2)由(1)得:Sn=Sn-1+Sn-2
證明:∵α,β是方程的根,∴有:α2=α+1,β2=β+1,
Sn-1+Sn-2n-1n-1n-2n-2
=
αn
α
+
αn
α2
+
βn
β
+
βn
β2

=
αn(1+α)
α2
+
βn(1+β)
β2

nn=Sn
故Sn=Sn-1+Sn-2
(3)由(2)有:
(
1+
5
2
)
7
+(
1-
5
2
)
7
=S7=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4=29.
點(diǎn)評:本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,(1)題根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,運(yùn)用乘法公式計算求出S1,S2,S3,S4的值.(2)題以(1)題結(jié)果為依據(jù)猜想Sn,Sn-1,Sn-2的關(guān)系,并根據(jù)α,β是方程的根進(jìn)行證明.(3)題利用(2)題的結(jié)論進(jìn)行計算求出式子的值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根,則方程的兩個根x1,x2和系數(shù)a,b,c有如下關(guān)系:x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
.我們把它們稱為根與系數(shù)關(guān)系定理.
如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0).利用根與系數(shù)關(guān)系定理我們又可以得到A、B兩個交點(diǎn)間的距離為:
AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
b
a
)
2
-
4c
a
=
b2-4ac
a2
=
b2-4ac
|a|

請你參考以上定理和結(jié)論,解答下列問題:
設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0),拋物線的頂點(diǎn)為C,顯然△ABC為等腰三角形.
(1)當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時,求b2-4ac的值;
(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時,b2-4ac=
 
;
(3)設(shè)拋物線y=x2+kx+1與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B,頂點(diǎn)為C,且∠ACB=90°,試問如何平移此拋物線,才能使∠ACB=60°?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若x1、x2是一元二次方程x2+2x-3=0的二個根,則x1•x2的值是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•蘭州)若x1、x2是關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的兩個根,則方程的兩個根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系:x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
.把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理.如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0).利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B兩個交點(diǎn)間的距離為:AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
b
a
)
2
-
4c
a
=
b2-4ac
a2
=
b2-4ac
|a|

參考以上定理和結(jié)論,解答下列問題:
設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),拋物線的頂點(diǎn)為C,顯然△ABC為等腰三角形.
(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時,求b2-4ac的值;
(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時,求b2-4ac的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年初中畢業(yè)升學(xué)考試(甘肅蘭州卷)數(shù)學(xué)(帶解析) 題型:解答題

若x1、x2是關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的兩個根,則方程的兩個根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系:x1+x2,x1•x2.把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理.如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0).利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B連個交點(diǎn)間的距離為:AB=|x1-x2|=

參考以上定理和結(jié)論,解答下列問題:
設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),拋物線的頂點(diǎn)為C,顯然△ABC為等腰三角形.
(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時,求b2-4ac的值;
(2)當(dāng)△ABC為等邊三角形時,求b2-4ac的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)仿真模擬試卷(五)(解析版) 題型:選擇題

若x1、x2是一元二次方程x2+2x-3=0的二個根,則x1•x2的值是( )
A.2
B.-2
C.3
D.-3

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