【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣ x﹣ 與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=ax2﹣ x+c(a≠0)經(jīng)過A,B,C三點.
(1)求過A,B,C三點拋物線的解析式并求出頂點F的坐標;
(2)在拋物線上是否存在點P,使△ABP為直角三角形?若存在,直接寫出P點坐標;若不存在,請說明理由;
(3)試探究在直線AC上是否存在一點M,使得△MBF的周長最小?若存在,求出M點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵直線y=﹣ x﹣ 與x軸交于點A,與y軸交于點C
∴點A(﹣1,0),C(0,﹣ )
∵點A,C都在拋物線上,
∴
∴
∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣
∴頂點F(1,﹣ )
(2)
解:方法一:存在:
p1(0,﹣ ),p2(2,﹣ )
方法二:
設P(t, ),A(﹣1,0),B(3,0),
∵PA⊥PB,∴KPA×KPB=﹣1,
=﹣1,
∴(t+1)(t﹣3)=﹣3,∴t1=0,t2=2,
∴P1(0,﹣ ),P2(2,﹣ ).
(3)
解:存在
理由:
解法一:
延長BC到點B′,使B′C=BC,連接B′F交直線AC于點M,則點M就是所求的點,
∵過點B′作B′H⊥AB于點H,
∵B點在拋物線y= x2﹣ x﹣ 上,
∴B(3,0),
在Rt△BOC中,tan∠OBC=
∴∠OBC=30°,BC=2
在Rt△B′BH中,B′H= BB′=2
BH= B′H=6,∴OH=3,
∴B′(﹣3,﹣2 ).
設直線B′F的解析式為y=kx+b,
∴ ,
解得 ,
∴y= .
,
解得 ,
∴M( )
∴在直線AC上存在點M,使得△MBF的周長最小,此時M( ).
解法二:
過點F作AC的垂線交y軸于點H,則點H為點F關(guān)于直線AC的對稱點,連接BH交AC于點M,則點M
即為所求.
過點F作FG⊥y軸于點G,則OB∥FG,BC∥FH,
∴∠BOC=∠FGH=90°,∠BCO=∠FHG
∴∠HFG=∠CBO
同方法一可求得B(3,0)
在Rt△BOC中,tan∠OBC=
∴∠OBC=30°,可求得GH=GC=
∴GF為線段CH的垂直平分線,可證得△CFH為等邊三角形
∴AC垂直平分FH
即點H為點F關(guān)于AC對稱點,
∴H(0,﹣ )
設直線BH的解析式為y=kx+b,由題意得, ,
解得 ,
∴y= ,
,
解得 ,
∴M( ),
∴在直線AC上存在點M,使得△MBF的周長最小,此時M( )
【解析】(1)拋物線解析式中有兩個待定系數(shù)a,c,根據(jù)直線AC解析式求點A、C坐標,代入拋物線解析式即可;(2)分析不難發(fā)現(xiàn),△ABP的直角頂點只可能是P,根據(jù)已知條件可證AC2+BC2=AB2 , 故點C滿足題意,根據(jù)拋物線的對稱性,點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點也符合題意;(3)由于B,F(xiàn)是定點,BF的長一定,實際上就是求BM+FM最小,找出點B關(guān)于直線AC的對稱點B',連接B'F,交AC于點M,點M即為所求,由(2)可知,BC⊥AC,延長BC到B',使BC=B'C,利用中位線的性質(zhì)可得B'的坐標,從而可求直線B'F的解析式,再與直線AC的解析式聯(lián)立,可求M點坐標.
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
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【題目】△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,分別交AC,AB于D,E兩點,并連結(jié)BD,DE. 則∠BDE的度數(shù)為 .
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【題目】小華在研究函數(shù)y1=x與y2=2x圖象關(guān)系時發(fā)現(xiàn):如圖所示,當x=1時,y1=1,y2=2;當x=2時,y1=2,y2=4;…;當x=a時,y1=a,y2=2a.他得出如果將函數(shù)y1=x圖象上各點的橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,就可以得到函數(shù)y2=2x的圖象.類比小華的研究方法,解決下列問題:
(1)如果函數(shù)y=3x圖象上各點橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到的函數(shù)圖象的表達式為;
(2)①將函數(shù)y=x2圖象上各點的橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,得到函數(shù)y=4x2的圖象; ②將函數(shù)y=x2圖象上各點的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到圖象的函數(shù)表達式為 .
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【題目】在平面直角坐標系中,A點坐標為(3,4),將線段OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OA′,則點A′的坐標是( )
A.(﹣4,3)
B.(﹣3,4)
C.(3,﹣4)
D.(4,﹣3)
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【題目】為落實“垃圾分類”,環(huán)衛(wèi)部門要求垃圾要按A,B,C三類分別裝袋,投放,其中A類指廢電池,過期藥品等有毒垃圾,B類指剩余食品等廚余垃圾,C類指塑料,廢紙等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了兩袋垃圾,這兩袋垃圾不同類.
(1)直接寫出甲投放的垃圾恰好是A類的概率;
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率.
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【題目】咸寧市某中學為了解本校學生對新聞、體育、動畫、娛樂四類電視節(jié)目的喜愛情況,隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的兩幅不完整統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)補全條形統(tǒng)計圖,“體育”對應扇形的圓心角是度;
(2)根據(jù)以上統(tǒng)計分析,估計該校2000名學生中喜愛“娛樂”的有人;
(3)在此次問卷調(diào)查中,甲、乙兩班分別有2人喜愛新聞節(jié)目,若從這4人中隨機抽取2人去參加“新聞小記者”培訓,請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的2人來自不同班級的概率.
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【題目】如圖,AB為⊙O直徑,點D為AB下方⊙O上一點,點C為弧ABD中點,連接CD,CA.
(1)求證:∠ABD=2∠BDC;
(2)過點C作CH⊥AB于H,交AD于E,求證:EA=EC;
(3)在(2)的條件下,若OH=5,AD=24,求線段DE的長
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