Question

先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：
例題：求代數式y(tǒng)²+4y+8的最小值．
解：y²+4y+8=y²+4y+4+4=（y+2）²+4
∵（y+2）²≥0
∴（y+2）²+4≥4
∴y²+4y+8的最小值是4．
（1）求代數式m²+m+4的最小值；
（2）求代數式4-x²+2x的最大值；
（3）某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設AB=x（m），請問：當x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）多項式配方后，根據完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多項式配方后，根據完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根據題意列出關系式，配方后根據完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．

解答：解：（1）m²+m+4=（m+

1

2

）²+

15

4

，
∵（m+

1

2

）²≥0，
∴（m+

1

2

）²+

15

4

≥

15

4

，
則m²+m+4的最小值是

15

4

；

（2）4-x²+2x=-（x-1）²+5，
∵-（x-1）²≤0，
∴-（x-1）²+5≤5，
則4-x²+2x的最大值為5；

（3）由題意，得花園的面積是x（20-2x）=-2x²+20x，
∵-2x²+20x=-2（x-10）²+50=-2（x-10）²≤0，
∴-2（x-10）²+50≤50，
∴-2x²+20x的最大值是50，此時x=10，
則當x=10m時，花園的面積最大，最大面積是50m²．

點評：此題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．