Question

如圖，已知A（-4，0），B（0，4），現以A點為位似中心，相似比為9：4，將OB向右側放大，B點的對應點為C．
（1）求C點坐標及直線BC的解析式；
（2）一拋物線經過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數圖象；
（3）現將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為3

2

的點P．

Answer 1

分析：（1）利用相似及相似比，可得到C的坐標．把A，B代入一次函數解析式即可求得解析式的坐標．
（2）頂點落在x軸正半軸上說明此函數解析式與x軸有一個交點，那么△=0，再把B，C兩點即可．
（3）到直線AB的距離為3

2

的直線有兩條，可求出這兩條直線解析式，和二次函數解析式組成方程組，求得點P坐標．

解答：解：（1）過C點向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質可知△ABO∽△ACD，
∴

AO

AD

=

BO

CD

=

4

9

．
由已知A（-4，0），B（0，4）可知
AO=4，BO=4．
∴AD=CD=9，
∴C點坐標為（5，9），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵A（-4，0），B（0，4）在一次函數解析式上，那么
-4k+b=0，b=4，
解得k=1，
化簡得y=x+4；

（2）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a＞0），由題意得

4=c 9=25a+5b+c b2-4ac=0

，
解得

a1=1 b1=-4 c1=4

，

a2= 1 25 b2= 4 5 c2=4

，
∴解得拋物線解析式為y₁=x²-4x+4或y₂=

1

25

x²+

4

5

x+4，
又∵y₂=

1

25

x²+

4

5

x+4的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去．
∴滿足條件的拋物線解析式為y=x²-4x+4，
（準確畫出函數y=x²-4x+4圖象）

（3）將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P，設P到直線AB的距離為h，
故P點應在與直線AB平行，且相距3

2

的上下兩條平行直線l₁和l₂上．
由平行線的性質可得
兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為3

2

．
如圖，設l₁與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，
在Rt△BEF中EF=h=3

2

，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直線l₁與y軸交點坐標為（0，10），
同理可求得直線l₂與y軸交點坐標為（0，-2），
∴兩直線解析式l₁：y=x+10；l₂：y=x-2．
根據題意列出方程組：
（1）

y=x2-4x+4 y=x+10

；（2）

y=x2-4x+4 y=x-2

，
解得

x1=6 y1=16

；

x2=-1 y2=9

；

x3=2 y3=0

；

x4=3 y4=1

，
∴滿足條件的點P有四個，
它們分別是P₁（6，16），P₂（-1，9），P₃（2，0），P₄（3，1）．

點評：本題用到的知識點為：可把位似比轉換為相似三角形的相似比；到一條直線的距離為定值的直線是平行于已知直線的兩條直線；平行直線的k的值相等．