Question

【題目】已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn) D 是邊 BC 的中點(diǎn)．以BD為直徑作⊙O，交邊 AB于點(diǎn)P，連接PC，交AD于點(diǎn)E．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：CE=2PE；

（3）如圖2，當(dāng)PC是⊙O的切線，E為AD 中點(diǎn)，BC=8，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）2.

【解析】

（1）要證明AD是圓O的切線，只要證明∠BDA=90°即可；

（2）連接PD、PO，根據(jù)直徑上的圓周角是直角可得PD∥AC，所以得△PBD是等腰三角形，則OD=BD，又由已知得OD=BD=DC，由平行線分線段成比例得=；

（3）連接OP，根據(jù)三角函數(shù)可求得PC，CD的長(zhǎng)，再在Rt△ADE中利用三角函數(shù)求得DE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AD的長(zhǎng)．

(1)證明：∵AB=AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BD.

又∵BD是圓O直徑，

∴AD是圓O的切線.

(2)證明：連接PD、PO，

∴PD∥AC，

已知△ABC中，AB=AC，∴BD=DC，

∴PB=PD，

∴OD=OB=BD=DC，

∴PE=CE，

∴=，

即CE=2PE；

(3)連接OP，

由BC=8，得CD=4，OC=6，OP=2，

∵PC是圓O的切線，O為圓心，

∴∠OPC=90°∴由勾股定理,得PC=4，

在△OPC中,tan∠OCP= =，

在△DEC中,tan∠DCE= =,DE=DC=.

∵E為AD中點(diǎn)，

∴AD=2.