Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A．
（1）若這個(gè)公共點(diǎn)為（2，0），求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為B，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且△OAB是等腰三角形，求該二次函數(shù)的表達(dá)式，并說(shuō)明它是如何由（1）中的二次函數(shù)的圖象平移得到的．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，然后利用頂點(diǎn)式可寫(xiě)出拋物線解析式；
（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式寫(xiě)出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（-

b

2

，0），根據(jù)△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到b²-4c=0，再確定B（0，c），接著利用OA=OB得到c=|-

b

2

|，然后解出c=1，b=2或b=-2，所以當(dāng)b=2，c=1時(shí)，拋物線解析式為y=（x+1）²；當(dāng)b=-2，c=1時(shí)，拋物線解析式為y=（x-1）²，再根據(jù)拋物線平移的規(guī)律通過(guò)平移拋物線y=（x-2）²得到拋物線y=（x+1）²或拋物線y=（x-1）²．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，
∴拋物線解析式為y=（x-2）²；
（2）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，且A（-

b

2

，0），b²-4c=0，
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+bx+c=c，則B（0，c），
∵△OAB是等腰三角形，
∴OA=OB，即c=|-

b

2

|，
∴b²=4c²，
∴4c²-c²=0，即得c₁=0（舍去），c₂=1，
∴|-

b

2

|=1，解得b=2或b=-2，
當(dāng)b=2，c=1時(shí)，拋物線解析式為y=x²+2x+1=（x+1）²，它可由拋物線y=（x-2）²向左平移3個(gè)單位得到；
當(dāng)b=-2，c=1時(shí)，拋物線解析式為y=x²-2x+1=（x-1）²，它可由拋物線y=（x-2）²向左平移1個(gè)單位得到．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．