Question

【題目】已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s），解答下列各問(wèn)題：
（1）求△ABC的面積；
（2）當(dāng)t為何值是，△PBQ是直角三角形？
（3）探究：是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五？如果存在，求出t的值；不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，則∠BAC=30°，

∵AC=4，

∴CD= AC=2，

∴Rt△ACD中，AD= =2 ，

∴△ABC的面積= ×BC×AD= ×4×2 =4

（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，△PBQ是直角三角形，則AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=4cm，∠B=60°，

∴BP=（4﹣t）cm，

若△PBQ是直角三角形，則分兩種情況：

① 當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BQ= BP，

即t= （4﹣t），

解得t= （秒），

②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP= BQ，

4﹣t= t，

解得t= （秒），

綜上所述，當(dāng)t= 秒或 秒時(shí)，△PBQ是直角三角形

（3）解：不存在這樣的t．

理由：如圖，作QD⊥AB于D，則∠BQD=30°，

∴QD= BD= × t= t，

∴△BQP的面積= ×BP×QD

= ×（4﹣t）× t

= t﹣ t2，

當(dāng)四邊形APQC的面積是△ABC面積的 時(shí)，△BQP的面積是△ABC面積的 ，

即 t﹣ t2= ×4 ，

化簡(jiǎn)得：t2﹣4t+6=0，

∵△=b2﹣4ac=16﹣4×1×6=﹣8＜0，

∴不存在這樣的t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五．

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式進(jìn)行解答即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°，然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的長(zhǎng)和∠B的度數(shù)進(jìn)行求解即可；（3）先作QD⊥AB于D，根據(jù)∠BQD=30°，得到QD= BD= × t= t，然后根據(jù)四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五，可得出一個(gè)關(guān)于t的方程，如果方程無(wú)解，則說(shuō)明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用求根公式和含30度角的直角三角形，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可以解答此題．