Question

（2010•順義區(qū)）如圖，直線l₁：y=kx+b平行于直線y=x-1，且與直線l₂：相交于點(diǎn)P（-1，0）．
（1）求直線l₁、l₂的解析式；
（2）直線l₁與y軸交于點(diǎn)A．一動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l₂上的點(diǎn)B₁處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l₁上的點(diǎn)A₁處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l₂上的點(diǎn)B₂處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l₁上的點(diǎn)A₂處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，…
照此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C依次經(jīng)過(guò)點(diǎn)B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…
①求點(diǎn)B₁，B₂，A₁，A₂的坐標(biāo)；
②請(qǐng)你通過(guò)歸納得出點(diǎn)A_n、B_n的坐標(biāo)；并求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C到達(dá)A_n處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線l₁：y=kx+b平行于直線y=x-1，求得k=1，再由與直線l₂：相交于點(diǎn)P（-1，0），分別求出b和m的值．
（2）由直線l₁的解析式，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出B₁點(diǎn)的坐標(biāo)，依此類推再求得A₁、B₂、A₂的值，從而得到A_n、B_n，進(jìn)而求出點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵y=kx+b平行于直線y=x-1，
∴y=x+b
∵過(guò)P（-1，0），
∴-1+b=0，
∴b=1
∴直線l₁的解析式為y=x+1；（1分）
∵點(diǎn)P（-1，0）在直線l₂上，
∴；
∴；
∴直線l₂的解析式為；（2分）

（2）①A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
則B₁點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，設(shè)B₁（x₁，1），
∴；
∴x₁=1；
∴B₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；（3分）
則A₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，設(shè)A₁（1，y₁）
∴y₁=1+1=2；
∴A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），即（2¹-1，2¹）；（4分）
同理，可得B₂（3，2），A₂（3，4），即（2²-1，2²）；（6分）
②經(jīng)過(guò)歸納得A_n（2ⁿ-1，2ⁿ），B_n（2ⁿ-1，2^n-1）；（7分）
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C到達(dá)A_n處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的總路徑的長(zhǎng)為A_n點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和再減去1，
即2ⁿ-1+2ⁿ-1=2ⁿ⁺¹-2．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和幾何問(wèn)題的綜合應(yīng)用，本題中根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)與點(diǎn)的距離是解題的基礎(chǔ)．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)再計(jì)算．