在一個(gè)三角形中,如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍,我們稱這種三角形為倍角三角形.如圖1,倍角△ABC中,∠A=2∠B,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別記為a,b,c,倍角三角形的三邊a,b,c有什么關(guān)系呢?讓我們一起來探索.

(1)我們先從特殊的倍角三角形入手研究.請(qǐng)你結(jié)合圖形填空:
三三角形角形角的已知量數(shù)學(xué)公式 數(shù)學(xué)公式
圖2∠A=2∠B=90°
圖3∠A=2∠B=60°
(2)如圖4,對(duì)于一般的倍角△ABC,若∠CAB=2∠CBA,∠CAB、∠CBA、∠C的對(duì)邊分別記為a,b,c,a,b,c,三邊有什么關(guān)系呢?請(qǐng)你作出猜測,并結(jié)合圖4給出的輔助線提示加以證明;
(3)請(qǐng)你運(yùn)用(2)中的結(jié)論解決下列問題:若一個(gè)倍角三角形的兩邊長為5,6,求第三邊長. (直接寫出結(jié)論即可)

解:(1)
三角形角的已知量
圖2∠A=2∠B=90°
圖3∠A=2∠B=60°
;

(2)猜測a,b,c的關(guān)系是延長CA至D,使AD=AB(如圖4);
∵AD=AB,∴∠D=∠ABD,
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D,
∵∠CAB=2∠CBA,
∴∠D=∠CBA,
又∵∠C=∠C,
∴△CBD∽△CAB,


(3)①當(dāng)a=5,b=6時(shí),
由(2)得:,解得c=-(不合題意舍去);
②當(dāng)a=6,b=5時(shí),
,解得c=;
③當(dāng)a=5,c=6時(shí),
,解得b=-3(負(fù)值舍去);
④當(dāng)a=6,c=5時(shí),
,解得b=4(負(fù)值舍去);
⑤當(dāng)b=5,c=6時(shí),
,解得a=(負(fù)值舍去);
⑥當(dāng)b=6,c=5時(shí),
,解得a=(負(fù)值舍去).
綜上可知:第三邊的長為或4或
分析:(1)圖2的三角形,顯然是等腰直角三角形,可設(shè)斜邊c為2,那么a=b=,即可求得、的值,圖3的解法同上.
(2)由(1)的結(jié)論,可猜測a、b、c的等量關(guān)系應(yīng)該是,可通過構(gòu)造相似三角形來證明;延長CA至D,是得AD=AB;那么∠CAB=2∠A=2∠CBA,再加上公共角∠C,即可證得△CBD∽△CAB,由此得到所求的結(jié)論.
(3)將已知的邊長代入(2)的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì),要注意的是(3)題的情況較多,一定要分類討論,不要漏解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在一個(gè)三角形中,如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍,我們稱這種三角形為倍角三角形.如圖1,倍角△ABC中,∠A=2∠B,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別記為a,b,c,倍角三角形的三邊a,b,c有什么關(guān)系呢?讓我們一起來探索.
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(1)我們先從特殊的倍角三角形入手研究.請(qǐng)你結(jié)合圖形填空:
三三角形角形 角的已知量
a
b
 
b+c
a
 
圖2 ∠A=2∠B=90°     
圖3 ∠A=2∠B=60°     
(2)如圖4,對(duì)于一般的倍角△ABC,若∠CAB=2∠CBA,∠CAB、∠CBA、∠C的對(duì)邊分別記為a,b,c,a,b,c,三邊有什么關(guān)系呢?請(qǐng)你作出猜測,并結(jié)合圖4給出的輔助線提示加以證明;
(3)請(qǐng)你運(yùn)用(2)中的結(jié)論解決下列問題:若一個(gè)倍角三角形的兩邊長為5,6,求第三邊長. (直接寫出結(jié)論即可)

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19、以下敘述中不正確的是( 。

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25、閱讀理解:“在一個(gè)三角形中,如果角相等,那么它們所對(duì)的邊也相等.”簡稱“等角對(duì)等邊”,如圖,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分線上交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作BC的平行線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,請(qǐng)你用“等角對(duì)等邊”的知識(shí)說明DE=BD+CE.

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求證:在一個(gè)三角形中,如果兩條邊不等,那么它們所對(duì)的角也不等.

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下列說法中,正確的有( 。﹤(gè).
①有兩邊及一邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
③底邊上的高等于這邊的一半的等腰三角形一定是等腰直角三角形.
④在一個(gè)三角形中,如果有一個(gè)角是30°,且有一邊等于另一邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

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