Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．

（1）若∠C ＝70°，求的度數(shù)；

（2）若∠C ＝α，請用含α的式子表示；

（3）連接MB，若AB ＝8，BC ＝6．

①求△的周長；

②在直線上是否存在點(diǎn)P，使（PB+CP）的值最小？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求（PB+CP）的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）∠NMA＝2α﹣90° ；（3） ①14；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PB+CP的值最小，最小值是8.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系，可得答案；

（2）根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系，可得答案；

（3）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AM與MB的關(guān)系，再根據(jù)三角形的周長，可得答案；②根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得P點(diǎn)與M點(diǎn)的關(guān)系，可得PB+PC與AC的關(guān)系

解：（1）∵AB＝AC，且∠C=70°，

∴∠B=∠C=70°,∠A=40°

又∵AB的垂直平分線交AB于N

∴∠NMA=90°-40°= 50°，

故答案為：50°；
（2）∵AB＝AC，且∠C=α，

∴∠B=∠C=α,∠A=

又∵AB的垂直平分線交AB于N

∴∠NMA=90°-=°，

（3）如圖：連接BM

MN垂直平分AB．

∴MB=MA，

∴△MBC的周長為BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC

又∵AB=AC

∴AC+BC=AB+BC=14cm，

∴∴△MBC的周長為14cm.

存在.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PB+CP的值最小，最小值是8cm．