Question

小知識(shí)：如圖，我們稱兩臂長(zhǎng)度相等（即CA=CB）的圓規(guī)為等臂圓規(guī)．當(dāng)?shù)缺蹐A規(guī)的兩腳擺放在一條直線上時(shí)，若張角∠ACB=x°，則底角∠CAB=∠CBA=（90-

x

2

）°．
請(qǐng)運(yùn)用上述知識(shí)解決問題：如圖，n個(gè)相同規(guī)格的等臂圓規(guī)的兩腳依次擺放在同一條直線上，其張角度數(shù)變化如下：∠A₁C₁A₂=160°，∠A₂C₂A₃=80°，∠A₃C₃A₄=40°，∠A₄C₄A₅=20°，…

（1）①由題意可得∠A₁A₂C₁=

 

°；
②若A₂M平分∠A₃A₂C₁，則∠MA₂C₂=

 

°；
（2）∠A_n+1A_nC_n=

 

°（用含n的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)n≥3時(shí)，設(shè)∠A_n-1A_nC_n-1的度數(shù)為a，∠A_n+1A_nC_n-1的角平分線A_nN與A_nC_n構(gòu)成的角的度數(shù)為β，那么a與β之間的等量關(guān)系是

 

，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：可以借助下面的局部示意圖）

Answer 1

分析：利用角的和差關(guān)系計(jì)算，注意利用等腰三角形的性質(zhì)．

解答：解：（1）①10；②35；

（2）∠A_n+1A_nC_n是△A_n+1A_nC_n的底角，頂角是：

160

2n

=

80

2n-1

°，則
）∠A_n+1A_nC_n=(90-

80

2n-1

)°；（注：寫成(90-

160

2n

)的不扣分，丟掉括號(hào)的不扣分）

（3）α-β=45°；理由：不妨設(shè)∠C_n-1=k．
根據(jù)題意可知，∠Cn=

k

2

．在△A_nA_n-1C_n-1中，由小知識(shí)可知∠A_n-1A_nC_n-1=α=90°-

k

2

．∴∠A_n+1A_nC_n-1=180°-α=90°+

k

2

．
在△A_n+1A_nC_n中，由小知識(shí)可知∠A_n+1A_nC_n=90°-

k

4

．
∵A_nN平分∠A_n+1A_nC_n-1，
∴∠1=

1

2

∠A_n+1A_nC_n-1=45°+

k

4

．
∵∠A_n+1A_nC_n=∠1+∠C_nA_nN，
∴90°-

k

4

=45°+

k

4

+β．
∴90°-

k

2

=45°+β．
∴α=45°+β．
∴α-β=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等．