Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知AC=2，AB=5．

（1）求BD的長；

（2）點(diǎn)E為直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對應(yīng)的線段CF（即∠ECF=∠BCD），EF交CD于點(diǎn)P．

①當(dāng)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，求EF的長；

②連接AF、DF，當(dāng)DF的長度最小時(shí)，求△ACF的面積．

Answer 1

【答案】（1）BD=4；（2）①EF=2；②當(dāng)DF的長度最小時(shí)，△ACF的面積為14．

【解析】

（1）由菱形的性質(zhì)得出AD=AB=BC=CD=5，AC⊥BD，由勾股定理求出OB，即可得出BD的長；

（2）①過點(diǎn)C作CH⊥AD于H，由菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出求出AH=2，由勾股定理求出求出再由勾股定理求出證明△BCD∽△ECF，得出即可得出結(jié)果；

②先證明△BCE≌△DCF，得出BE=DF，當(dāng)BE最小時(shí)，DF就最小，且BE⊥DE時(shí)，BE最小，此時(shí)∠EBC=∠FDC=90°，BE=DF=4，△EBC的面積=△ABC的面積=△DCF的面積，則四邊形ACFD的面積=2△ABC的面積=20，過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，過點(diǎn)C作CP⊥AD于P，則∠CPD=90°，證明△PCD∽△HDF，得出求出即可得出△ACF的面積．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC=CD=5，AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：OB===2，

∴BD=2OB=4；

（2）①過點(diǎn)C作CH⊥AD于H，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠BAC=∠DAC，

∴cos∠BAC=cos∠DAC，

∴==，即=，

∴AH=2，

∴CH==4，

∵E為AD的中點(diǎn)，

∴AE=AD=，

∴HE=AE-AH=，

在Rt△CHE中，由勾股定理得：EC==，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECF=∠BCD，CF=CE，

∴=，

∴△BCD∽△ECF，

∴，即=，

解得：EF=2；

②如圖2所示：

∵∠BCD=∠ECF，

∴∠BCD-DCE=∠ECF-∠DCE，即∠BCE=∠DCF，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴BE=DF，

當(dāng)BE最小時(shí)，DF就最小，且BE⊥DE時(shí)，BE最小，

此時(shí)∠EBC=∠FDC=90°，BE=DF=4，△EBC的面積=△ABC的面積=△DCF的面積，

則四邊形ACFD的面積=2△ABC的面積=5×4=20，

過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，過點(diǎn)C作CP⊥AD于P，

則∠CPD=90°，

∴∠PCD+∠PDC=90°，

∵∠FDC=90°，

∴∠PDC+∠HDF=90°，

∴∠PCD=∠HDF，

∴△PCD∽△HDF，

∴==，

∴HF=4×=，

∴△ADF的面積=ADHF=×5×=6，

∴△ACF的面積=四邊形ACFD的面積-△ADF的面積=20-6=14，

即當(dāng)DF的長度最小時(shí)，△ACF的面積為14．