【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,D是BC邊上一點(diǎn),以AD為邊作△ADE,使AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°.
(1)直接寫(xiě)出∠ADE的度數(shù)(用含α的式子表示);
(2)以AB,AE為邊作平行四邊形ABFE,
①如圖2,若點(diǎn)F恰好落在DE上,求證:BD=CD;
②如圖3,若點(diǎn)F恰好落在BC上,求證:BD=CF.

【答案】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,
∴∠BAC=180°﹣2α,
∵∠DAE+∠BAC=180°,
∴∠DAE=2α,
∵AE=AD,
∴∠ADE=90°﹣α;
(2)①證明:∵四邊形ABFE是平行四邊形,
∴AB∥EF.
∴∠EDC=∠ABC=α,
由(1)知,∠ADE=90°﹣α,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=CD;
②證明:∵AB=AC,∠ABC=α,
∴∠C=∠B=α.
∵四邊形ABFE是平行四邊形,
∴AE∥BF,AE=BF.
∴∠EAC=∠C=α,
由(1)知,∠DAE=2α,
∴∠DAC=α,
∴∠DAC=∠C.
∴AD=CD.
∵AD=AE=BF,
∴BF=CD.
∴BD=CF.
【解析】(1)由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可求得∠BAC=180°﹣2α,又由AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°,可求得∠DAE=2α,繼而求得∠ADE的度數(shù);
(2)①由四邊形ABFE是平行四邊形,易得∠EDC=∠ABC=α,則可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,證得AD⊥BC,又由AB=AC,根據(jù)三線合一的性質(zhì),即可證得結(jié)論;
②由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可得∠B=∠C=α,四邊形ABFE是平行四邊形,可得AE∥BF,AE=BF.即可證得:∠EAC=∠C=α,又由(1)可證得AD=CD,又由AD=AE=BF,證得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題.

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