【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點,頂點為C,點P為拋物線上,且位于x軸下方

(1)如圖1,若P(1,-3)、B(4,0),

求該拋物線的解析式;

若D是拋物線上一點,滿足DPO=POB,求點D的坐標;

(2) 如圖2,已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點當點P運動時,是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由

【答案】(1)y=x2-;點D的坐標為(-1,-3)或(,);(2)是定值,等于2.

【解析】

試題分析:(1)P(1,-3)、B(4,0)代入y=ax2+c得方程組,解方程組即可求得a、c的值,就求得函數(shù)解析式;分兩種情況求得點D的坐標即可;(2)設B(b,0),A(-b,0)有ab2c=0,即可得b2過點P(x0,y0作PHAB,有,利用相似三角形的性質(zhì)分別求得OE、OF的值,即可得的值.

試題解析:(1)P(1,-3)、B(4,0)代入y=ax2+c得

,解得 ,拋物線的解析式為:

如圖

∠DPO∠POB得DPOB,D與P關于y軸對稱P(1,-3)得D(-1,-3);

如圖,D在P右側(cè),即圖中D2,則∠D2PO∠POB延長PD2x軸于Q,QO=QP,

設Q(q,0,(q-1)2+32=q2,解得:q=5,Q(5,0則直線PD2 ,再聯(lián)立 :x=1或 D2

點D的坐標為(-1,-3)或(

(2)設B(b,0),A(-b,0)有ab2c=0,b2,過點P(x0,y0作PHAB,有,易證:△PAHEAO, ,

同理,,則OE+OF=

OC=-c,∴.

是定值,等于2.

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