Question

在平面直角坐標(biāo)系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°得OB，連接AB，作BD⊥直線CO于D，點A的坐標(biāo)為（-3，1）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若AB中點為M，連接CM，動點P、Q分別從C點出發(fā)，點P沿射線CM以每秒

2

個單位長度的速度運動，點Q沿線段CD以每秒1個長度的速度向終點D運動，當(dāng)Q點運動到D點時，P、Q同時停止，設(shè)△PQO的面積為S（S≠0），運動時間為T秒，求S與T的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量T的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，動點P在運動過程中，是否存在P點，使四邊形以P、O、B、N（N為平面上一點）為頂點的矩形？若存在，求出T的值．

Answer 1

分析：（1）先求出點B的坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)AB中點為M，求出點M的坐標(biāo)，再求出CM的解析式，過點P做PH⊥CO交CO于點H，用t表示出OQ和PH的長，根據(jù)S=

1

2

OQ•PH即可求出S與T的函數(shù)關(guān)系式；
（3）此題需分四種情況分別求出T的值即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∵∠BDO=90°，
∠OBD+∠BOD=90°，
∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，∠ACO=∠BDO=90°，
∴△AOC≌△OBD，
∴AC=OD，CO=BD
∵A（-3，1），
∴AC=OC=1，OC=BD=3，
∴B（1，3），
∴y=

1

2

x+

5

2

；

（2）M（-1，2），C（-3，0），
∴直線MC的解析式為：y=x+3
∴∠MCO=45°，
過點P做PH⊥CO交CO于點H，
S=

1

2

OQ•PH=

1

2

（3-t）×t=-

1

2

t²+

3

2

t（0＜t＜3）
或S=

1

2

（t-3）t=

1

2

t²-

3

2

t（3＜t≤4）；

（3）①當(dāng)OP⊥OB時，t₁=

3

4

，t₃=

13

4

，
②當(dāng)∠OPB=90°時，t₂=3，t₄=2．

點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時要注意分類討論，關(guān)鍵是能用t表示出線段的長度求出解析式．