Question

（2013•株洲）已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點(diǎn)B，∠ABC的平分線BD交⊙O于點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)C．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求證：AD=CD．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，易證得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分線BD交⊙O于點(diǎn)D，易證得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度數(shù)；
（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三線合一的知識(shí)，即可證得AD=CD．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，

∠ADB=∠CDB BD=BD ∠ABD=∠CBD

，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=CB，
∵直線BC與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°；

（2）證明：∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AD=CD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．