Question

【題目】在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在射線DA上，連接BE，將線段BE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B恰好落在射線DB上此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則線段DF的長(zhǎng)為______．

Answer 1

【答案】或105

【解析】

解直角三角形得到AD＝12，過(guò)F作FH⊥AD于H，設(shè)DH＝4x，FH＝3x，根據(jù)勾股定理得到DF＝5x，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABE＝∠HEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，分情況討論列方程即可得到結(jié)論．

如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵AB＝9，tan∠ADB＝ ，

∴AD＝12，

過(guò)F作FH⊥AD于H，

∵tan∠ADB＝，

∴設(shè)DH＝4x，FH＝3x，

∴DF＝5x，

∵∠BEF＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠HEF＝90°，

∴∠ABE＝∠HEF，

在△ABE與△HEF中， ，

∴△ABE≌△HEF（AAS），

∴AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，

∴AE+DH＝AD﹣EH＝3x+4x＝12﹣9＝3，

∴x＝ ，

∴DF＝5x＝ ；

如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵AB＝9，tan∠ADB＝，

∴AD＝12，

過(guò)F作FH⊥AD于H，

∵tan∠ADB＝，

∴設(shè)DH＝4x，FH＝3x，

∴DF＝5x，

∵∠BEF＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠HEF＝90°，

∴∠ABE＝∠HEF，

在△ABE與△HEF中，

∴△ABE≌△HEF，

∴AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，

∴DH﹣AE＝AD+EH＝4x﹣3x＝12+9＝21，

∴x＝21，

∴DF＝5x＝105，

綜上所述，線段DF的長(zhǎng)為 或105．

故答案為：或105．