【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線與y軸交于點D(0,3).
(1)直接寫出c的值;
(2)若拋物線與x軸交于A、B兩點(點B在點A的右邊),頂點為C點,求直線BC的解析式;
(3)已知點P是直線BC上一個動點,
①當(dāng)點P在線段BC上運動時(點P不與B、C重合),過點P作PE⊥y軸,垂足為E,連結(jié)BE.設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),△PBE的面積為s,求s與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出s的最大值;
②試探索:在直線BC上是否存在著點P,使得以點P為圓心,半徑為r的⊙P,既與拋物線的對稱軸相切,又與以點C為圓心,半徑為1的⊙C相切?如果存在,試求r的值,并直接寫出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)c=3;(2);(3)①S=-x2+3x=-(x-)2+(1<x<3);當(dāng)x=時,S取得最大值,最大值為;②存在點P1(),或P2(),此時r1=;點P3(),或P4(),此時r2=,理由見解析.
【解析】
(1)將點D(0,3)直接代入解析式即可;
(2)先求出頂點C坐標(biāo)為(1,4),以及與x軸的交點坐標(biāo),即令y=0時,得到點B(3,0)代入一次函數(shù)解析式即可求得答案;
(3)根據(jù)S=PE·OE,利用P點在線段BC上,可表示出PE,OE,得到S=,變形為頂點式后求出最大值即可.第②小問,根據(jù)兩圓內(nèi)切與外切進行分類討論,分別用r表示出CQ,PQ,CP的長度,再利用勾股定理即可求出r長度和P點坐標(biāo).
解:(1)∵將D(0,3)代入解析式
∴c=3
(2)由(1)知拋物線為:
y=-x2+2x+3,配方得y=-(x-1)2+4
∴頂點C坐標(biāo)為(1,4)
令y=0,得x1=-1,x2=3
∴ B(3,0)
設(shè)直線BC解析式為:(),把B、C兩點坐標(biāo)代入,
得解得.
∴直線BC解析式為
(3)①∵點P(x,y)在的圖象上,
∴PE=x,OE=-2x+6
∴s=PE·OE=
∴
.
∵x=符合1<x<3,
∴當(dāng)x=時,S取得最大值,最大值為.
②答:存在.
如圖,設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點F,則CF=4,BF=2
過P作PQ⊥CF于Q,則Rt△CPQ∽Rt△CBF
∴,即
∴CQ=2r
當(dāng)⊙P與⊙C外切時,CP=r+1
∵CQ2+PQ2=CP2
∴(2r)2+r2=(r+1)2
解得r=(r=舍去)
此時P1(),或P2()
當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時,CP=r-1.
∵CQ2+PQ2=CP2
∴(2r)2+r2=(r-1)2
解得r=(r= 舍去)
此時P3(),或P4().
∴當(dāng)r1=, r2=時,⊙P與⊙C相切.
點P的坐標(biāo)為P1(),或P2(),
P3(),或P4().
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABCD的邊AB在y軸上,點D(4,4),cos∠BCD=,若反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過平行四邊形對角線的交點E,則k的值為( )
A.14B.7C.8D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等腰直角△ABC,∠C=90°,AC=2,D為邊AC上一動點,連結(jié)BD,在射線BD上取一點E使BEBD=AB2.若點D由A運動到C,則點E運動的路徑長為_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題發(fā)現(xiàn)
小明在學(xué)習(xí)魯教版八年級上冊97頁例4時,受到啟發(fā)進行如下數(shù)學(xué)實驗操作:
如圖1,取一個銳角為45°的三角尺,把銳角頂點放在正方形ABCD的頂點D處,將三角尺繞點D旋轉(zhuǎn)一個角度,使三角尺的直角邊與斜邊分別交邊AB,BC于點E和點F,連接FE,在繞點D旋轉(zhuǎn)過程中,發(fā)現(xiàn)線段AE,EF,CF滿足EF=AE+CF的數(shù)量關(guān)系,但是不會進行證明,數(shù)學(xué)張老師給他如下的提示:把△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△DCE’的位置,小明畫旋轉(zhuǎn)后的圖形,利用全等的知識證明了出來.你根據(jù)上面的提示畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,并將上面的結(jié)論進行證明.
問題探究
小明的探究引發(fā)了老師的興趣,老師將三角尺繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置,三角尺的直角邊與斜邊分別交邊AB,BC的延長線于點E和點F,老師問題小明此時AE,EF,CF滿足什么數(shù)量關(guān)系,小明思考后說出了正確的結(jié)論.請同學(xué)們直接寫出正確結(jié)論(不用寫出證明過程).
拓展延伸
張老師讓小明利用上面探究積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,解答下面的問題:
如圖3已知正方形ABCD,點E在邊AB上,點F在邊BC上,且∠EDF=45°,若CD=6,AE=2,求CF的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,BA=AD=DC,點E在CB延長線上,BE=AD,連接AC、AE.
⑴ 求證:AE=AC;
⑵ 若AB⊥AC, F是BC的中點,試判斷四邊形AFCD的形狀,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為落實“美麗撫順”的工作部署,市政府計劃對城區(qū)道路進行了改造,現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成.已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的倍,甲隊改造360米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用3天.
(1)甲、乙兩工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米?
(2)若甲隊工作一天需付費用7萬元,乙隊工作一天需付費用5萬元,如需改造的道路全長1200米,改造總費用不超過145萬元,至少安排甲隊工作多少天?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標(biāo)為(0,8),點C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、C,與AB交于點D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達式;
②當(dāng)S最大時,在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上,若存在點F,使△DFQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知∠ABC=90°,D是直線AB邊上的點,AD=BC
(1)如圖1,點D在線段AB上,過點A作AF⊥AB,且AF=BD,連接DC、DF、CF,試判斷△CDF的形狀并說明理由;
(2)如圖2,點D在線段AB的延長線上,點F在點A的左側(cè),其他條件不變,以上結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小亮和小偉一起參加象棋比賽,他們所在的小組共有5名選手.抽簽袋里有2紅2黑1白共5個小球,摸到同色的成為首輪對手,摸到白球的首輪輪空.現(xiàn)在小組其他3名選手首先依次各摸走一個小球,小亮看到第1個選手摸走的是紅球,他對小偉說根據(jù)這3名選手的摸球結(jié)果我已經(jīng)知道咱倆恰好首輪對陣的概率了.請你求這個概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com