【題目】如圖,在四邊形OABC是邊長為4的正方形,點P為OA邊上任意一點(與點O、A不重合),連接CP,過點P作PMCP交AB于點D,且PM=CP,過點M作MNAO,交BO于點N,連結(jié)ND、BM,設(shè)OP=t.

(1)求點M的坐標(用含t的代數(shù)式表示);

(2)試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變?并說明理由.

(3)當t為何值時,四邊形BNDM的面積最小;

(4)在x軸正半軸上存在點Q,使得QMN是等腰三角形,請直接寫出不少于4個符合條件的點Q的坐標(用含t的式子表示).

【答案】(1)M(4+t,t);(2)線段MN長度不變;(3)當t=2時,四邊形BNDM的面積最小,最小值6;(4)Q1(t+2,0),Q2(4+t﹣,0),Q3(4+t+,0)Q4(t+,0).

【解析】

試題分析:(1)作MEOA于點E,要求點M的坐標只要證明OPC≌△EM即可,根據(jù)題目中的條件可證明兩個三角形全等,從而可以得到點M的坐標;

(2)首先判斷是否變化,然后針對判斷結(jié)合題目中的條件說明理由即可解答本題;

(3)要求t為何值時,四邊形BNDM的面積最小,只要用含t的代數(shù)式表示出四邊形的面積,然后化為頂點式即可解答本題;

(4)首先寫出符合要求的點Q的坐標,然后根據(jù)寫出的點的坐標寫出推導過程即可解答本題.

試題解析:(1)如圖1所示,作MEOA于點E,∴∠MEP=POC=90°,PMCP,∴∠CPM=90°,∴∠OPC+MPE=90°,又∵∠OPC+PCO=90°,∴∠MPE=PCO,PM=CP,∴△MPE≌△PCO(AAS),PE=CO=4,ME=PO=t,OE=4+t,點M的坐標為(4+t,t);

(2)線段MN長度不變,理由:OA=AB=4,點B(4,4),直線OB的解析式為:y=x,點N在直線OB上,點N(t,t),MNOA,M(4+t,t),MN=|(4+t)﹣t|=4,即MN的長度不變;

(3)由(1)知,MPE=PCO,又∵∠DAP=POC=90°,∴△DAP∽△POC,,OP=t,OC=4,AP=4﹣t,,得AD=BD=4﹣=,MNOA,ABOA,MNBD,=MNBD=×4×=,當t=2時,四邊形BNDM的面積最小,最小值6;

(4)在x軸正半軸上存在點Q,使得QMN是等腰三角形,此時點Q的坐標為:Q1(t+2,0),Q2(4+t﹣,0),Q3(4+t+,0)Q4(t+,0)理由:

當(2)可知,OP=t(0t4),MN=PE=4,MNx軸,第一種情況:當MN為底邊時,作MN的垂直平分線,與x軸的交點為Q1,如圖2所示,PQ1=PE=MN=2,OQ1=t+2,Q1(t+2,0)

第二種情況:如圖3所示,當MN為腰時,以M為圓心,MN的長為半徑畫弧交x軸于點Q2、Q3,連接MQ2、MQ3,則MQ2=MQ3=4,Q2E==,OQ2=OE﹣Q2E=4+t﹣,Q2(4+t﹣,0),OQ3=OE+Q3E=4+t+,Q3(4+t+,0);

第三種情況,當MN為腰時,以N為圓心,MN長為半徑畫圓弧交x軸于點Q4,當0t時,如圖4所示,則PQ4===,OQ4=OP+PQ4=t+,即Q4t+,0).

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