【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線交軸于點,,交軸于點,且拋物線的對稱軸經(jīng)過點,過點的直線交拋物線于另一點,點是該拋物線上一點,連接,,,.
(1)求直線及拋物線的函數(shù)表達式;
(2)試問:軸上是否存在某一點,使得以點,,為頂點的與相似?若相似,請求出此時點的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點是直線上方的拋物線上一動點(不與點,重合),過作交直線于點,以為直徑作,則在直線上所截得的線段長度的最大值等于_______.(直接寫出答案)
【答案】(1) ;(2)相似,或;(3)
【解析】
(1)由二次函數(shù)的對稱性及B點坐標先求出點A的坐標,代入中求出AD的解析式即可,再將A、B點坐標代入二次函數(shù)解析式中,結(jié)合對稱軸聯(lián)立方程組求出二次函數(shù)解析式.
(2)先計算出 ,此時AD∥BE,再分情況討論P點在B點左側(cè)和P點在B點右側(cè)時的情形.
(3) 設在直線上所截得的線段為NK,過K點作KI⊥x軸于I點,NJ⊥x軸于J點,PK⊥NJ于P點,設M點的坐標為(),將N,K坐標分別用m的代數(shù)式表示,最后利用即可求解.
(1)由題可知,對稱軸:,點
則點
得
直線
由題可得
解得,,
拋物線的函數(shù)關系式
(2)點在拋物線上
即
易求得直線
由題可得:
直線交拋物線于點,
可知,
則:
,,,
,,
設
①若點在點左側(cè)時
(i)當時
則
即:
即:點
(ii)當時
則
即:
即:點
②若點在點右側(cè)時
,
又
此時,與不相似
(3)在直線上所截得的線段長度的最大值等于,如下圖所示:
設在直線上所截得的線段為NK,過K點作KI⊥x軸于I點,NJ⊥x軸于J點,PK⊥NJ于P點,
設M點坐標為()
∵BE⊥MN,∴,且
∴
∴直線MN的解析式為:,與直線BC聯(lián)立方程組:
解得N點坐標為
∵MN是圓O的直徑,∴∠MKN=90°
∴MK⊥BC,即,且
∴直線MK的解析式為:,與直線BC聯(lián)立方程組:
解得K點坐標為
由圖像可知,
∴
∴當時,最大值等于.
故答案為:.
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【題目】如圖,在□ABCD中,AC、BD相交于點O,點E、F在BD上,且BE=DF.連
接AE、CF.
(1)求證△AOE≌△COF;
(2)若AC⊥EF,連接AF、CE,判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,三張“黑桃”撲克牌,背面完全相同將三張撲克牌背面朝上,洗勻后放在桌面上甲,乙兩人進行摸牌游戲,甲先從中隨機抽取一張,記下數(shù)字再放回洗勻,乙再從中隨機抽取一張.
(1)甲抽到“黑桃”,這一事件是 事件(填“不可能“,“隨機“,“必然”);
(2)利用樹狀圖或列表的方法,求甲乙兩人抽到同一張撲克牌的概率.
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【題目】某商場銷售A、B兩種新型小家電,A型每臺進價40元,售價50元,B型每臺進價32元,售價40元,4月份售出A型40臺,且銷售這兩種小家電共獲利不少于800元.
(1)求4月份售出B型小家電至少多少臺?
(2)經(jīng)市場調(diào)查,5月份A型售價每降低1元,銷量將增加10臺;B型售價每降低1元,銷量將在4月份最低銷量的基礎上增加15臺.為盡可能讓消費者獲得實惠,商場計劃5月份A、B兩種小家電都降低相同價格,且希望銷售這兩種小家電共獲利965元,則這兩種小家電都應降低多少元?
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【題目】在某次防災抗災過程中,為了保障某市的抗災物資供應,現(xiàn)有一批救災物資由,兩種型號的貨車運輸至該市.已知輛型貨車和輛型貨車共可滿載救災物資噸,輛型貨車和輛型貨車共可滿載救災物資噸.
(1)求輛型貨車和輛型貨車分別能滿載多少噸;
(2)已知這批救災物資共噸,計劃同時調(diào)用,兩種型號的貨車共輛,并要求一次性將全部物資運送到該市,試求調(diào)用,兩種型號的貨車的方案.
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【題目】如果一個三角形的兩個內(nèi)角α,β滿足α+2β=90°,那么我們稱這樣的三角形為“非常三角形”.
(1)若△ABC是“非常三角形”,∠C>90°,∠A=50°,則∠B= .
(2)如圖,△ABC中,AB=AC,D是邊BC上一點,以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點A,連結(jié)AD.
①求證:△ADC為“非常三角形”.
②若sinB=,AB=8,弦AB上是否存在一點P,使得△BDP是“非常三角形”,若存在,請求出線段AP的長度;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知小明家、體育場、超市在一條筆直的公路旁(小明家、體育場、超市到公路的距離忽略不計),圖中的信息反映的過程是小明從家跑步去體育場,在體育場鍛煉了一陣后又走到超市買些學習用品,然后再走回家.圖中表示小明所用的時間,表示小明離家的距離.根據(jù)圖中的信息,下列說法中錯誤的是( ).
A.體育場離小明家的距離是
B.小明在體育場鍛煉的時間是
C.小明從體育場出發(fā)到超市的平均速度是
D.小明從超市回家的平均速度是
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于點D,點E是AB的中點,連結(jié)DE.
(1)求證:△ABD是等腰三角形;
(2)求∠BDE的度數(shù).
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【題目】今年受新冠病毒疫情的影響,王大伯家的兩種水果“沃柑”和“夏橙”存在銷售困難,這一情況被住村干部得知后,決定幫助王大伯提供線上(網(wǎng)上銷售)和線下(批發(fā)給店鋪)兩種形式銷售.通過一個星期的銷售,其中通過線上銷售1600斤,且通過線上銷售的斤數(shù)比線下銷售的斤數(shù)多60%.
(1)求王大伯的一星期線上線下銷售“沃柑”和“夏橙”一共多少斤?
(2)如果銷售的這些水果中“沃柑”比“夏橙”的2倍少700斤,而通過線上銷售的“夏橙”的斤數(shù)不小于線下銷售“夏橙”的2倍,則通過線下銷售的“沃柑”至少多少斤?
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