Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D，E，且弧DE=弧BE.

（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）已知半圓的半徑為5，BC＝12，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）△ABC為等腰三角形，理由見解析；（2）

【解析】

（1）連接AE，根據(jù)圓周角定理可得∠DAE＝∠BAE，∠AEB＝90°，再根據(jù)相等的角的余角也相等可得∠C＝∠ABC，從而得到△ABC為等腰三角形；

（2）根據(jù)“三線合一”得到BE的長，利用勾股定理求得AE的長，再利用三角形的面積公式即可求得BD的長.

解：（1）△ABC為等腰三角形．

理由如下：連結AE，如圖，

∵，

∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，

∵AB為直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴AE⊥BC，

∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，

∴∠C＝∠ABC，

∴AC＝AB，

∴△ABC為等腰三角形；

（2）∵△ABC為等腰三角形，AE⊥BC，

∴,，

在Rt△ABE中，

∵AB＝10，BE＝6，

∴，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴，

∴.