【題目】如圖,在ABCD中,E為BC邊上的一點,將△ABE沿AE翻折得到△AFE,點F恰好落在線段DE上.

(1)求證:FAD=CDE
(2)當(dāng)AB=5,AD=6,且tan∠ABC=2時,求線段EC的長.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠B=∠ADC,

∵將△BAE沿AE翻折得到△FAE,點F恰好落在線段DE上,

∴△ABE≌△AFE,

∴∠B=∠AFE,

∴∠AFE=∠ADC,

∵∠FAD=∠AFE﹣∠1,∠CDE=∠ADC﹣∠1,

∴∠FAD=∠CDE


(2)

過點D作DG⊥BE,交BE的延長線于點G.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB∥CD,AD∥BC,CD=AB=5,

∴∠2=∠B,∠3=∠EAD,

由(1)可知,△ABE≌△AFE,

∴∠B=∠AFE,∠3=∠4,

∴∠4=∠EAD,

∴ED=AD=6,

在Rt△CDG中,tan∠2=tan∠ABC==2,

∴DG=2CG,

∵DG2+CG2=CD2

∴(2CG)2+CG2=52,

∴CG=,DG=2,

在Rt△EDG中,

∵EG2+DG2=DE2,

∴EG=4,

∴EC=4﹣


【解析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)得出∠B=∠ADC,∠B=∠AFE,得出∠AFE=∠ADC,即可得出結(jié)論;
(2)過點D作DG⊥BE,交BE的延長線于點G.由平行四邊形的性質(zhì)得出∠2=∠B,∠3=∠EAD,由翻折的性質(zhì)得出∠B=∠AFE,∠3=∠4,得出∠4=∠EAD.得出ED=AD=6,由三角函數(shù)得出DG=2CG,根據(jù)勾股定理得出DG2+CG2=CD2 , 求出CG、DG,再根據(jù)勾股定理求出EG,即可得出EC.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

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