Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE．

（1）求證：AB⊥AE．

（2）若點D為AB中點，求證：四邊形ADCE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)∠ACB=∠DCE=90°可得∠BCD=∠ACE，從而得出△CBD和△CAE全等得出∠B=∠CAE，根據(jù)∠B+∠BAC=90°得出∠BAC+∠EAC=90°，即垂直；（2）根據(jù)D為中點得出∠ADC=90°，結(jié)合∠DCE=∠BAE=90°得出矩形，然后根據(jù)CD=CE得出正方形.

試題解析：（1）∵∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°

∵∠DCE＝90°∴∠ACD＋∠ACE＝90°

∴∠BCD＝∠ACE

在△CBD與△CAE中，∵CB＝CA， ∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△CBD≌△CAE，

∴∠B＝∠CAE，

∵∠B＋∠BAC＝90°

∴∠BAC＋∠EAC＝90°

∴AB⊥AE

（2）∵點D為AB中點，∴∠ADC＝90°

∵∠DCE＝90°， ∠BAE＝90°

∴四邊形ADCE是矩形，

∴CD＝CE，

∴四邊形ADCE是正方形