【題目】如圖,在△ABC中,E是AC邊上的一點(diǎn),且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,BC=6,求DE的長.
【答案】(1)證明過程見解析;(2)1.6
【解析】試題分析:(1)由AE=AB,可得∠ABE=90°﹣∠BAC,又由∠BAC=2∠CBE,可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°,繼而證得結(jié)論;
(2)首先連接BD,易證得△ABD∽△ACB,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得答案.
試題解析:(1)∵AE=AB,
∴△ABE是等腰三角形,
∴∠ABE=(180°﹣∠BAC=)=90°﹣∠BAC,
∵∠BAC=2∠CBE,
∴∠CBE=∠BAC,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=(90°﹣∠BAC)+∠BAC=90°,
即AB⊥BC,
∴BC是⊙O的切線;
(2)連接BD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ADB=∠ABC,
∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB,
∴,
∵在Rt△ABC中,AB=8,BC=6,
∴AC==10,
∴,
解得:AD=6.4,
∵AE=AB=8,
∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等邊三角形,點(diǎn)D在邊AB上.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí),求證DE=EB;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí),猜想ED和EB數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí),EH⊥AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作GE∥AB,交線段AC的延長線于點(diǎn)G,AG=5CG,BH=3.求CG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù),我們規(guī)定:滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為[a,b].對(duì)于一個(gè)函數(shù),如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足當(dāng)m≤y≤n,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”.
(1)反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1,2019]上的“閉函數(shù)”嗎?請(qǐng)判斷并說明理由.
(2)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉間[m,n]上的“閉函數(shù)”,求此函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),連接AC,BC.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),在線段AC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),在線段OB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.連接PQ.
(1)填空:b= ,c= ;
(2)在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)過程中,△APQ可能是直角三角形嗎?請(qǐng)說明理由;
(3)在x軸下方,該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M,使△PQM是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)如圖②,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣,0),線段PQ的中點(diǎn)為H,連接NH,當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于直線NH的對(duì)稱點(diǎn)Q′恰好落在線段BC上時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=4cm,點(diǎn)E、F同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度分別沿CB﹣BA、CD﹣DA運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),△AEF的面積為S(cm2),則S(cm2)與t(s)的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是等邊三角形,延長到點(diǎn),延長到點(diǎn),使,連接,延長交于.
(1)求證: ;
(2)求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=8厘米.點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng)(到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)),點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)(到達(dá)點(diǎn)C即停止運(yùn)動(dòng)).
(1)如果P,Q分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘,△PBQ的面積等于△ABC面積的三分之一?
(2)如果P,Q兩點(diǎn)分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),幾秒鐘后,P,Q相距6厘米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曉東在解一元二次方程時(shí),發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法:如:解方程x(x+4)=6.
解:原方程可變形,得[(x+2)﹣2][(x+2)+2]=6.(x+2)2﹣22=6,(x+2)2=6+22,(x+2)2=10.直接開平方并整理,得,.我們稱曉東這種解法為“平均數(shù)法”.
(1)下面是曉東用“平均數(shù)法”解方程(x+2)(x+6)=5時(shí)寫的解題過程.
解:原方程可變形,得
[(x+□)﹣〇][(x+□)+〇]=5.
(x+□)2﹣〇2=5,
(x+□)2=5+〇2.
直接開平方并整理,得x1=☆,x2=¤.
上述過程中的“□”,“〇”,“☆”,“¤”表示的數(shù)分別為 , , , .
(2)請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程:(x﹣3)(x+1)=5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即SSS,SAS,ASA,AAS)和直角三角形全等的判定方法(即HL)后,我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
(初步思考)
我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后對(duì)∠B進(jìn)行分類,可以分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.
(深入探究)
第一種情況:當(dāng)∠B為銳角時(shí),△ABC和△DEF不一定全等.
(1)如圖,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是銳角,請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中確定點(diǎn)D,使△DEF和△ABC不全等(不寫作法,保留作圖痕跡);
第二種情況:當(dāng)∠B為直角時(shí),△ABC≌△DEF.
(2)如圖,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根據(jù)____,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第三種情況:當(dāng)∠B為鈍角時(shí),△ABC≌△DEF.
(3)如圖,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是鈍角,求證:△ABC≌△DEF.
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