【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知的兩條直角邊、分別在軸和軸上, 、的長(zhǎng)分別是方程的兩根,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.

)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo).

)當(dāng)為何值時(shí)為直角三角形,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為?

)當(dāng)時(shí),在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點(diǎn),使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】, ;(, ;()有, ; ;

【解析】試題分析:

(1)解方程可求得OA、AB的長(zhǎng),再由勾股定理可求得OB的長(zhǎng),從而可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo);

2如圖1,根據(jù)題意分析可知,存在兩種可能性:①∠APQ=90°②∠AQP=90°由這兩種情況分別可證得:△APQ∽△AOB△AQP∽△AOB,由此可列出比例式求出對(duì)應(yīng)的t的值,進(jìn)而可求得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo);

3如圖2,t=2,可求得此時(shí)APBQ的長(zhǎng),結(jié)合題意分析存在三種可能情況,結(jié)合(1)、(2)中求得的數(shù)據(jù)和平行四邊形的判定分析就可求得點(diǎn)M的坐標(biāo);

試題解析

方程 可化為: ,解得: ,

∴OA=3,AB=6

OB=,

, ;

如圖11)可知,在RtAOB中,OA=3,AB=6,AOB=90°,

AO=AB,

∴∠ABO=30°,∠BAO=60°.

當(dāng) ,則,由則此時(shí)BQ=3,Q1N1OBN1,由∠ABO=30°可得Q1N1=,由勾股定理可得BN1=

ON1=OB-BN1=,

點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為

當(dāng)②,則,由,同理可得點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為;

綜合①、②可得: , ;

如圖2,當(dāng)t=2時(shí),AP=2BQ=4

過(guò)點(diǎn)QQM1⊥OB與點(diǎn)M1,由∠ABO=30°,可得QM1=2=AP,

又∵QM1∥AP,

∴此時(shí)四邊形APM1Q是平行四邊形.

RtQM1B中,由勾股定理可得BM1=,

OM1=OB-BM1=,

點(diǎn)M1的坐標(biāo)為;

延長(zhǎng)M1Q至點(diǎn)M2,使QM2=QM1=2,連接AM2,則由可知此時(shí)QM2∥APQM2=AP,

∴四邊形ABQM2是平行四邊形,此時(shí)點(diǎn)M2的坐標(biāo)為 ;

t=2時(shí),AP=2,BQ=4,可得AQ=AB-BQ=2=AP

又∵∠BAO=60°,

∴△APQ是等邊三角形,則將△APQ沿AP翻折得到△APM3,易證此時(shí)四邊形AQPM3是平行四邊形,而點(diǎn)M3與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱,

Q的坐標(biāo)為,

點(diǎn)M3的坐標(biāo)為

綜上所述存在點(diǎn)M,使以點(diǎn)A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,其坐標(biāo)分別為:M1、M2、M3.

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