【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x﹣1與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為A、B,以x=﹣1為對(duì)稱軸的拋物線y=x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、C,直線x=﹣1與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使以A,D,P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)Q在第三象限內(nèi),且tan∠AQD=2,線段CQ是否存在最小值,如果存在直接寫出最小值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)存在;點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,)或(-,-);
(3)存在,CQ最小值為.
【解析】
(1)根據(jù)直線y=﹣x﹣1易求得A點(diǎn)坐標(biāo),由拋物線的對(duì)稱性可求得C點(diǎn)坐標(biāo),然后寫出拋物線的交點(diǎn)式即可;
(2)根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,﹣a﹣1),分△AOB∽△APD和△AOB∽△APD兩種情況,第一種情況直接根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果,第二種情況先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則△APE∽△PED,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果;
(3)如圖,取點(diǎn)F(﹣1,﹣1),過(guò)點(diǎn)ADF作圓,則點(diǎn)E(﹣2,﹣)為圓心,因?yàn)?/span>tan∠AFD=2,
則連CE交⊙E于點(diǎn)Q,則CQ為滿足條件的最小值,再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求得CE的長(zhǎng),然后減去圓的半徑即可得解.
(1)∵直線y=﹣x﹣1與x軸交于A點(diǎn),
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣3,0),
又∵直線x=﹣1為對(duì)稱軸,
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,0),
∴拋物線解析式為:y=(x+3)(x﹣1)=x2+2x﹣3;
(2)存在;
由已知,點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,﹣1),
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,﹣a﹣1),
①當(dāng)△AOB∽△ADP時(shí),
,即,
解得:a=﹣1;
點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,);
②當(dāng)△AOB∽△APD時(shí),
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,
則△APE∽△PED,
∴PE2=AEED,
∴(﹣a﹣1)2=(a+3)(﹣a﹣1),
解得a1=﹣3(舍去),a2=﹣,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣,﹣);
(3)存在,CQ最小值為;
如圖,取點(diǎn)F(﹣1,﹣1),過(guò)點(diǎn)ADF作圓,則點(diǎn)E(﹣2,﹣)為圓心
∵tan∠AFD=2,
∴弧AFD(A、D除外)上的點(diǎn)都是滿足條件的Q點(diǎn),
則連CE交⊙E于點(diǎn)Q,則CQ為滿足條件的最小值,
此時(shí)CE=,
∵⊙E半徑為,
∴CQ最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)、分別是邊長(zhǎng)為的等邊邊、上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),它們同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.
(1)當(dāng)時(shí),求的度數(shù);
(2)當(dāng)為何值時(shí),是直角三角形?
(3)如圖2,若點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng),直線、交點(diǎn)為,則變化嗎?若變化,則說(shuō)明理由,若不變,則求出它的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=(),將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。
(1)如圖1,直接寫出∠ABD的大。ㄓ煤的式子表示);
(2)如圖2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判斷△ABE的形狀并加以證明;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)DE,若∠DEC=45°,求的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為使中華傳統(tǒng)文化教育更具有實(shí)效性,軍寧中學(xué)開展以“我最喜愛(ài)的傳統(tǒng)文化種類”為主題的調(diào)查活動(dòng),圍繞“在詩(shī)詞、國(guó)畫、對(duì)聯(lián)、書法、戲曲五種傳統(tǒng)文化中,你最喜愛(ài)哪一種?(必選且只選一種)”的問(wèn)題,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)通過(guò)計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若軍寧中學(xué)共有960名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)最喜愛(ài)國(guó)畫的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)、分別在、上,且,下列結(jié)論:①是等腰直角三角形;②;③;④.其中正確的是( )
A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn).
(1)求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖像,寫出關(guān)于的不等式的解集;
(3)求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有一,且,,,已知是由旋轉(zhuǎn)得到的.
請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是________,旋轉(zhuǎn)角是________度;
設(shè)線段所在直線表達(dá)式為,試求出當(dāng)滿足什么要求時(shí),;
點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在直線上,要使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求所有滿足條件點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,內(nèi)含于,的弦切于點(diǎn),且.若陰影部分的面積為,則弦的長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,AD⊥BC,垂足為D,且AD=6,E是AC邊上的中點(diǎn),M是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),則EM+CM的最小值是______.
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