Question

【題目】（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A（－3,0）、B（4,0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，且BD＝BC，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動(dòng).

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若經(jīng)過(guò)t秒的移動(dòng)，線段PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；

（3）該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為 .（2）t的值為.（3）在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M（ ， ），使得MQ＋MA的值最小.

【解析】解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)A（－3,0），B（4,0）兩點(diǎn)，

∴ 解得

∴所求拋物線的解析式為.

（2）如圖，依題意知AP＝t，連接DQ，

由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），

可得AC＝5，BC＝ ，AB＝7.

∵BD＝BC，

∴ .

∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ= ∠CDP.

∵BD＝BC，∴∠DCB= ∠CDB.

∴∠CDQ= ∠DCB.∴DQ∥BC.

∴△ADQ∽△ABC.∴ .∴ .

∴ .解得 .

∴ .

∴線段PQ被CD垂直平分時(shí)，t的值為 .

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸 與x軸交于點(diǎn)E.

點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸 對(duì)稱，連接BQ交該對(duì)稱軸于點(diǎn)M.

則 ，即.

當(dāng)BQ⊥AC時(shí)，BQ最小.

此時(shí)，∠EBM= ∠ACO.

∴ .

∴ .∴ ，

解得ME=.

∴M（， ）.

即在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M（ ， ），使得MQ＋MA的值最小.