Question

已拋物線y=3x²+ax+

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(3a2+2b)
（1）甲學(xué)生說：當(dāng)a取任何不同的數(shù)值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的拋物線都有完全相同的形狀；乙學(xué)生說：a取不同的數(shù)值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的拋物線的形狀也不同．你認(rèn)為哪位學(xué)生說法正確，為什么？
（2）若取a=-2，a=3時(shí)所對(duì)應(yīng)的拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B．請(qǐng)你求出直線AB的解析式．并判斷：當(dāng)a取其它實(shí)數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的拋物線的頂點(diǎn)是否也在直線AB上？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=3x²+ax+

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(3a2+2b)，二次項(xiàng)系數(shù)3決定拋物線的開口方向和大小，即可判斷對(duì)錯(cuò)．
（2）先求出點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式再進(jìn)行下一步的判斷．

解答：解：（1）根據(jù)y=3x²+ax+

1

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(3a2+2b)，二次項(xiàng)系數(shù)3決定拋物線的開口方向和大小，所以a取任何不同的數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線的形狀完全相同．
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，拋物線為y=3x²-2x+

1

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（12+2b），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，

1

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b）；
當(dāng)a=3時(shí)，拋物線為y=3x²+3x+

1

36

（27+2b），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，

1

18

b）；
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，則

1 3 k+n= 1 18 b - 1 2 k+n= 1 18 b

，
解得

k=0 n= 1 18 b

．
即直線AB的解析式為y=

1

18

b．
當(dāng)a取其它實(shí)數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的拋物線的頂點(diǎn)也在直線AB上．理由如下：
∵拋物線y=3x²+ax+

1

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(3a2+2b)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

a

6

，

1

18

b），
∴無(wú)論a取何值，此拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)都是

1

18

b，
即頂點(diǎn)在直線y=

1

18

b上．
故當(dāng)a取其它實(shí)數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的拋物線的頂點(diǎn)也在直線AB上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及判定一個(gè)點(diǎn)在直線上的方法．由于本題運(yùn)用待定系數(shù)法求出的函數(shù)y=

1

18

b是常數(shù)函數(shù)，此知識(shí)點(diǎn)初中教材不要求掌握，因此本題屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．