已知x和y是正整數(shù),且滿足條件xy+x+y=71,x2y+xy2=880,求x2+y2的值.

答案:
解析:

  解:設(shè)a=x+y,b=xy,于是

  a+b=71,ab=880,

  構(gòu)造以a、b為二根的一元二次方程

  t2-71t+880=0,

  解得t=16或t=55,

  ∴a=16,b=55或a=55,b=16,

  即x+y=16,xy=55或x+y=55,x·y=16,

  于是x、y為一元二次方程

  m2-16m+55=0①或n2-55n+16=0②的兩個(gè)正整數(shù)根,

  解①得m=5或m=11,

  即x=5,y=11或x=11,y=5

  方程②無(wú)整數(shù)解.

  ∴x2+y2=52(或112)+112(或52)=146.

  分析:直接不易求出x、y的值.但經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)已知二等式分別為xy與x+y的和,xy與x+y的積,先換元構(gòu)造一元二次方程,整體求得x+y、xy,再構(gòu)造以x、y為根的一元二次方程,解出x、y,問(wèn)題便可獲解.

  點(diǎn)評(píng):巧妙換元,創(chuàng)造了構(gòu)造一元二次方程的條件,為解題打開了方便之門.


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