Question

【題目】 如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的一個動點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，BC，作∠APC的平分線交AC于點D．

下列結論正確的是 （寫出所有正確結論的序號）

①△CPD∽△DPA；

②若∠A=30°，則PC=BC；

③若∠CPA=30°，則PB=OB；

④無論點P在AB延長線上的位置如何變化，∠CDP為定值．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】試題分析：解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，

∴△CPD∽△DPA錯誤；

②連接OC，

∵AB是直徑，∠A=30°

∴∠ABC=60°，

∴OB=OC=BC，

∵PC是切線，

∴∠PCB=∠A=30°，∠OGP=90°，

∴∠APC=30°，

∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°=，

∴PC=BC，正確；

③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，

∴∠ABC=∠APC+∠A，

∵∠ABC+∠A=90°，

∴∠APC+2∠A=90°，

∵∠APC=30°，

∴∠A=∠PCB=30°，

∴PB=BC，∠ABC=60°，

∴OB=BC=OC，

∴PB=OB；正確；

④解：如圖，連接OC，

∵OC=OA，PD平分∠APC，

∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，

∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∵∠CPO+∠COP=90°，

∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，

∴∠DPA+∠A=45°，

即∠CDP=45°；正確；

故答案為：②③④