Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線l：y=-

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x+m與x、y軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C（-4，-4）畫平行于y軸的直線交直線AB于點D，CD=10．

（1）求點D的坐標(biāo)和直線l的解析式；
（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如圖2，將直線l沿y軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移適當(dāng)?shù)木嚯x時，直線l與x、y軸分別相交于點A′、B′，在直線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．（不必書寫解題過程）

Answer 1

分析：（1）由點C的坐標(biāo)和CD的長，求出點D的坐標(biāo)，再把點D的坐標(biāo)代入y=-

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x+m求得m的值，即可求得直線l的解析式；
（2）由直線l的解析式可求得點A、B的坐標(biāo)，過點C畫CH⊥y軸于H，則CH=OH=4，BH=8．求證△AOB≌△BHC即可求得AB=BC，∠HBC=∠OAB，進(jìn)而求得∠ABC=90°；
（3）此題應(yīng)分作三種情況考慮，可先設(shè)出平移后直線l的解析式（由于是平移，故斜率不變），然后表示出A'、B'的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到它們的中點坐標(biāo)；
①以P為直角頂點，那么此時P點為A'B'的中垂線與直線CD的交點，可根據(jù)A’B'中點（M）的坐標(biāo)及直線AB的斜率求出此中垂線的解析式，進(jìn)而得到P點坐標(biāo)的表達(dá)式，若△A′B′P是等腰直角三角形，則PM=

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A'B'，可據(jù)此列出關(guān)系式求出P點的坐標(biāo)；
②以B'為直角頂點，那么點P為過B點且與直線A'B'垂直的直線的解析式，可根據(jù)點P的坐標(biāo)求出這條直線的解析式，然后表示出點P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)△A′B′P是等腰直角三角形得到A'P=A'B，以此列方程求得P點坐標(biāo)；
③以A'為直角頂點，方法同②．

解答：解：（1）∵CD=10，點C的坐標(biāo)為（-4，-4），
∴點D的坐標(biāo)為（-4，6）（2分）
把點D（-4，6）代入y=-

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x+m得，m=4．
∴直線l的解析式是y=-

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x+4；（4分）

（2）
∵y=-

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x+4，
∴A（8，0），B（0，4），
過點C畫CH⊥y軸于H，則CH=OH=4，BH=8．
在△AOB和△BHC中，
∵AO=BH，∠AOB=∠BHC，BO=CH，
∴△AOB≌△BHC（6分）
∴AB=BC，∠HBC=∠OAB，
∴∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形；（8分）

（3）p（-4，-

8

3

）或（-4，8）或（-4，-12）或（-4，-4）或（-4，4）．

點評：本題考查綜合應(yīng)用點的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定等知識進(jìn)行推理論證、運算及探究證明的能力．