Question

【題目】如圖，點是正方形的對角線上一點，于點，于點，連接.給出下列五個結論：①；②一定是等腰直角三角形；③一定是等腰三角形；④；⑤.其中正確結論的序號是( )

A. ①②③④B. ①②④⑤C. ②③④⑤D. ①③④⑤

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接PC，根據(jù)正方形對角線的性質及題中的已知條件，證明△ABP≌△CBP后即可證明AP=PC，再根據(jù)矩形對角線相等和角的有關性質即可證明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基礎上，根據(jù)正方形的對角線平分對角的性質，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC，也可證明②的正確性，③只在特殊情況下成立．

證明：連接PC，

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，
∴AB=CB，∠ABP=∠CBP= 45°，BP=BP

∴△ABP≌△CBP，

∴AP=PC，∠BCP=∠BAP，

又∵于點，于點，

∴四邊形PECF是矩形，PC=EF且互相平分，
①∴AP=EF正確；∠PFE=∠FEC=∠BCP
∴④∠PFE=∠BAP正確，

③∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP=45°，
∴當∠PAD=45°或67.5°或90°時，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯誤．
∵PF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，即△DPF是等腰直角三角形，即②正確
∵矩形PECF中，PF=EC，
∴在等腰直角三角形△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴⑤DP=EC正確．
∴其中正確結論的序號是①②④⑤．

故選B．