【題目】已知:如圖,直線交坐標軸于A、C兩點,拋物線過A、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為拋物線位于第三象限上一動點,連接PA,PC,試問△PAC是否存在最大值,若存在,請求出△APC取最大值以及點P的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)點M為拋物線上一點,點N為拋物線對稱軸上一點,若△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形,請直接寫出點M的坐標.
【答案】(1);(2)存在,△PAC的面積最大值為,點P的坐標為(,);(3)點M的坐標為:或或(,)或(,).
【解析】
(1)由一次函數(shù)解析式求得A、C兩點的坐標,然后代入到二次函數(shù)解析式,用待定系數(shù)法求解;
(2)過點P作PQ⊥x軸,垂足為Q,直線PQ,AC交于點P,設點P的坐標為(,),則點D的坐標為(,),根據(jù)兩點間距離公式求得PD =,然后根據(jù)三角形面積公式求得==,由此根據(jù)二次函數(shù)的性質分析最值;
(3)分情況討論:當點M在對稱軸左側時,構造矩形EFCG,設點M的坐標為(,),利用AAS定理證明△MEN≌△CFM,然后結合拋物線對稱軸求得MF==,NE=,從而列方程求解;作MF⊥y軸,垂足為F,MF交對稱軸于點E;設點M的坐標為(,),則ME= ,CF= ,然后列方程求解;當點M在對稱軸的右側時,過點M作EF∥x軸,分別交對稱軸與y軸于點E和點F.設點M的坐標為(,),然后結合拋物線對稱軸求得ME= =,CF= = ,然后列方程求解;作ME⊥對稱軸,垂足為E,ME交NC,交點為F.設點M的坐標為(,),則ME= ,CF= ,然后列方程求解.
解:(1)交x軸于A(-3,0),交y軸于C(0,-3),
∵拋物線經(jīng)過點A(-3,0),點C(0,-3),
∴,解得,
∴拋物線解析式為:;
(2)如圖2,過點P作PQ⊥x軸,垂足為Q,直線PQ,AC交于點P,
設點P的坐標為(,),則點D的坐標為(,),
∴線段PD的長為:()-()=,
∵,,
∴====,
∵,∴當時候,△PAC的面積又最大值,最大值為,
此時點P的坐標為(,);
(3)①如圖3,當點M在對稱軸左側時,構造矩形EFCG,設點M的坐標為(,),
∵△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形
∴∠NME+∠CMF=90°,∠FCM+∠CMF=90°
∴∠NME=∠FCM
又∵∠E=∠F=90°,MN=MC
∴△MEN≌△CFM,
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1,
∴MF==,NE=,
∵MF=NE,∴,
解得(舍),,
故點M的坐標為;
②如圖6,作MF⊥y軸,垂足為F,MF交對稱軸于點E;
設點M的坐標為(,),則ME= ,CF= ,
由①同理可證△MNE≌△CFM,
∵ME=CF,故,
解得:(舍),,
故點M的坐標為(,);
③如圖5,當點M在對稱軸的右側時,過點M作EF∥x軸,分別交對稱軸與y軸于點E和點F.
設點M的坐標為(,),
由①同理可證△MEN≌△MFC,拋物線對稱軸為直線x=-1,
則ME= =,CF= = ,
∵ME=CF,∴,解得:(舍),,
故的點M的坐標 為;
④如圖4,作ME⊥對稱軸,垂足為E,ME交NC,交點為F.
設點M的坐標為(,),則ME= ,CF= ,
由①同理可證△MNE≌△CFM,
∵ME=CF,故,
解得:,(舍),
故點M的坐標為(,);
綜上可得點M的坐標為:或或(,)或(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點D在射線BC上(不與點B、點C重合),將線段AD繞A逆時針旋轉90°得到線段AE,作射線BA與射線CE,兩射線交于點F.
(1)若點D在線段BC上,如圖1,請直接寫出CD與EF的關系.
(2)若點D在線段BC的延長線上,如圖2,(1)中的結論還成立嗎?請說明理由.
(3)在(2)的條件下,連接DE,G為DE的中點,連接GF,若tan∠AEC=,AB=,求GF的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對角線BD中點O的直線分別交AB,CD邊于點E,F(xiàn).
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當四邊形BEDF是菱形時,求EF的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某賓館有若干間標準房,當標準房的價格為200元時,每天入住的房間數(shù)為60間,經(jīng)市場調查表明,該賓館每間標準房的價格在170~240元之間(含170元,240元)浮動時,每天入住的房間數(shù)(間)與每間標準房的價格(元)的數(shù)據(jù)如下表:
(元) | … | 190 | 200 | 210 | 220 | … |
(間) | … | 65 | 60 | 55 | 50 | … |
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)在坐標系中描出相應的點,并畫出圖象.
(2)求關于的函數(shù)表達式、并寫出自變量的取值范圍.
(3)設客房的日營業(yè)額為(元).若不考慮其他因素,問賓館標準房的價格定為多少元時.客房的日營業(yè)額最大?最大為多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學疫情期間為了切實抓好“停課不停學”活動,借助某軟件平臺隨機抽取了該校部分學生的在線學習時間,并將結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上信息回答下列問題
(1)本次調查的人數(shù)為 , 學習時間為7小時的所對的圓心角為 ;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若全校共有學生1800人,估計有多少學生在線學習時間不低于8個小時.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,AC為直徑,點D為弧ACB的中點,過點D的切線與BC的延長線交于點E.
(1)用尺規(guī)作圖作出圓心O;(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)求證:DE⊥BC;
(3)若OC=2CE=4,求圖中陰影部分面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲乙兩位老師同住一小區(qū),該小區(qū)與學校相距米.甲從小區(qū)步行去學校,出發(fā)分鐘后乙再出發(fā),乙從小區(qū)先騎公共自行車,騎行若干米到達還車點后,立即步行走到學校.已知乙騎車的速度為米/分,甲步行的速度比乙步行的速度每分鐘快米.設甲步行的時間為(分),圖1中線段與折線分別表示甲、乙離小區(qū)的路程(米)與甲步行時間(分)的函數(shù)關系的圖象;圖2表示甲、乙兩人之間的距離(米)與甲步行時間 (分)的函數(shù)關系的圖象(不完整),根據(jù)圖1和圖2中所給的信息,解答下列問題:
(1)求甲步行的速度和乙出發(fā)時甲離開小區(qū)的路程;
(2)求直線的解析式;
(3)在圖2中,畫出當時,關于的函數(shù)的大致圖象.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖, 拋物線與軸交于點A(-1,0),頂點坐標(1,n)與軸的交點在(0,2),(0,3)之間(包 含端點),則下列結論:①;②;③對于任意實數(shù)m,總成立;④關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根.其中結論正確的個數(shù)為
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)的圖像過面積等于8的長方形的對角線的中點,為函數(shù)圖像上任意一點.則的最小值為( )
A.1B.C.D.2
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com