Question

【題目】如圖，在中，AB為的直徑，C為上一點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線(xiàn)，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．

（1）求證：DP是的切線(xiàn)；

（2）若AC=5，,求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AP=．

【解析】

（1）根據(jù)題意連接OP，直接利用切線(xiàn)的定理進(jìn)行分析證明即可；

（2）根據(jù)題意連接BC，交于OP于點(diǎn)G，利用三角函數(shù)和勾股定理以及矩形的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析計(jì)算即可.

解：（1）證明：連接OP；

∵OP=OA;

∴∠1=∠2；

又∵P為D的中點(diǎn)；

∴

∴∠1=∠3；

∴∠3=∠2；

∴OP∥DA；

∵∠D=90°；

∴∠OPD=90°；

又∵OP為O半徑；

∴DP為O的切線(xiàn)；

（2）連接BC，交于OP于點(diǎn)G；

∵AB是圓O的直徑；

∴∠ACB為直角；

∵

∴sin∠ABC=

AC=5,則AB=13,半徑為

由勾股定理的BC=，那么CG=6

又∵四邊形DCGP為矩形；

∴GP=DC=6.5-2.5=4

∴AD=5+4=9;

在Rt△ADP中，AP=.