Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線l與拋物線交于A，C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A，C不重合），過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求△ACE面積的最大值；

（3）若直線PE為拋物線的對(duì)稱軸，拋物線與y軸交于點(diǎn)D，直線AC與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為直線PE上一動(dòng)點(diǎn)，則在x軸上是否存在一點(diǎn)N，使四邊形DMNQ的周長最�。咳舸嬖�，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（4）點(diǎn)H是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、H四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣1；（2）△ACE的面積最大值為；（3）M（1，﹣1），N（，0）；（4）滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)為F1（1，0），F(xiàn)2（﹣3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4﹣，0）．

【解析】

（1）令拋物線y=x2-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），求出P、E的坐標(biāo)，用x表示出線段PE的長，求出PE的最大值，進(jìn)而求出△ACE的面積最大值；
（3）根據(jù)D點(diǎn)關(guān)于PE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C（2，-3），點(diǎn)Q（0，-1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M（0，1），則四邊形DMNQ的周長最小，求出直線CM的解析式為y=-2x+1，進(jìn)而求出最小值和點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；
（4）結(jié)合圖形，分兩類進(jìn)行討論，①CF平行x軸，如圖1，此時(shí)可以求出F點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)；②CF不平行x軸，如題中的圖2，此時(shí)可以求出F點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)．

（1）令y=0，解得或x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2﹣2x﹣3得

∴C（2，-3），

∴直線AC的函數(shù)解析式是

（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），

則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），

∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，

∴當(dāng)時(shí)，PE的最大值

△ACE的面積最大值

（3）D點(diǎn)關(guān)于PE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C（2，﹣3），點(diǎn)Q（0，﹣1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為K（0，1），

連接CK交直線PE于M點(diǎn)，交x軸于N點(diǎn)，可求直線CK的解析式為，此時(shí)四邊形DMNQ的周長最小，

最小值

求得M（1，﹣1），

（4）存在如圖1，若AF∥CH，此時(shí)的D和H點(diǎn)重合，CD=2，則AF=2，

于是可得F1（1，0），F(xiàn)2（﹣3，0），

如圖2，根據(jù)點(diǎn)A和F的坐標(biāo)中點(diǎn)和點(diǎn)C和點(diǎn)H的坐標(biāo)中點(diǎn)相同，

再根據(jù)|HA|=|CF|，

求出

綜上所述，滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)為F1（1，0），F(xiàn)2（﹣3，0），，．