Question

【題目】如圖直角坐標(biāo)系中直線 AB 與 x 軸正半軸、y 軸正半軸交于 A，B 兩點(diǎn)，已知 B(0，4)，∠BAO=30°，P，Q 分別是線段 OB，AB 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P 從 O 出發(fā)以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，Q 從 B 出發(fā)以每秒 8 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（秒）．

(1)求線段 AB 的長(zhǎng)，及點(diǎn) A 的坐標(biāo)；

(2)t 為何值時(shí)，△BPQ 的面積為；

(3)若 C 為 OA 的中點(diǎn)，連接 QC，QP，以 QC，QP 為鄰邊作平行四邊形 PQCD，

①t 為何值時(shí)，點(diǎn) D 恰好落在坐標(biāo)軸上；

②是否存在時(shí)間 t 使 x 軸恰好將平行四邊形 PQCD 的面積分成 1∶3 的兩部分，若存在，直接寫出 t 的值．

Answer 1

【答案】； （2）1或；(3)①或；②.

【解析】

由30°角的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)，由勾股定理求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）由運(yùn)動(dòng)知，OP＝3t，BQ＝8t，BP＝43t，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，由勾股定理求出HQ的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式求解即可；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，QC∥PD，利用三角形的中位線求解即可；當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，PQ∥AD，利用sin∠BQP＝求解即可；

②如圖 ，連接PC，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA于F，由平行四邊形的性質(zhì)知S△CPQ＝S△PCD，由x軸恰好將平行四邊形PQCD的面積分成1：3的兩部分，可得S△PCE＝S△DCE，可證DF＝OP＝3t，然后證明延長(zhǎng)DF，PQ相交于M，延長(zhǎng)HQ交DM于N，然后證明△CDF≌△QPH，可得PH＝DF＝3t，利用4t＋3t＋3t＝4即可求出t的值.

解：（1）∵B（0，4），

∴OB＝4，

在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，

∴AB＝2OB＝8，BC＝OB＝4，

∴A（4，0）.

（2）如圖1，

由運(yùn)動(dòng)知，OP＝3t，BQ＝8t，

∴BP＝43t，

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，

∴HQ＝4t，

∵△BPQ的面積為2，

∴（43t）×4t

＝2，

∴t＝1或t＝.

（3）①當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，QC∥PD，

∵C是OA中點(diǎn)，

∴BQ＝AB＝4，

∴8t＝4，

∴t＝，

當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，

∵PQ∥AD，

∴∠BPQ＝90°，

∴sin∠BQP＝ ，

∴，

∴t＝，

②如圖 ，連接PC，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA于F，

∵四邊形CDPQ是平行四邊形，

∴S△CPQ＝S△PCD，

∵x軸恰好將平行四邊形PQCD的面積分成1：3的兩部分，

∴S△PCE＝S△DCE，

∴點(diǎn)E是DP的中點(diǎn)，

易知，DF＝OP＝3t，

延長(zhǎng)DF，PQ相交于M，延長(zhǎng)HQ交DM于N，

∵CD∥PQ，

∴∠M＝∠CDF，∠M＝∠HPQ，

∴∠CDF＝∠HPQ，

∵CD＝PQ，

∴△CDF≌△QPH，

∴PH＝DF＝3t，

∵BH＝BQ＝4t，

∴4t＋3t＋3t＝4，

∴t＝．