【題目】△ABC是一張等腰直角三角形紙板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,
(1)要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形,有甲、乙兩種剪法(如圖1),比較甲、乙兩種剪法,哪種剪法所得的正方形面積大?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取,記所得正方形面積為s1;按照甲種剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分別剪取正方形,得到兩個(gè)相同的正方形,稱為第2次剪取,并記這兩個(gè)正方形面積和為s2(如圖2),則s2=;再在余下的四個(gè)三角形中,用同樣方法分別剪取正方形,得到四個(gè)相同的正方形,稱為第3次剪取,并記這四個(gè)正方形面積和為s3,繼續(xù)操作下去…,則第10次剪取時(shí),s10=;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和.
【答案】解:(1)解法1:如圖甲,由題意,得AE=DE=EC,即EC=1,S正方形CFDE=12=1
如圖乙,設(shè)MN=x,則由題意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x,
∴,
解得
∴
又∵
∴甲種剪法所得的正方形面積更大.
說(shuō)明:圖甲可另解為:由題意得點(diǎn)D、E、F分別為AB、AC、BC的中點(diǎn),S正方形OFDE=1.
解法2:如圖甲,由題意得AE=DE=EC,即EC=1,
如圖乙,設(shè)MN=x,則由題意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x,
∴,
解得,
又∵,即EC>MN.
∴甲種剪法所得的正方形面積更大.
(2),.
(3)解法1:探索規(guī)律可知:
剩余三角形面積和為=
解法2:由題意可知,
第一次剪取后剩余三角形面積和為2﹣S1=1=S1
第二次剪取后剩余三角形面積和為,
第三次剪取后剩余三角形面積和為,
…
第十次剪取后剩余三角形面積和為.
【解析】略
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=3cm,以B為圓心,1cm長(zhǎng)為半徑畫⊙B,點(diǎn)P在⊙B上移動(dòng),連接AP,并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP′,連接BP′.在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中,BP′長(zhǎng)度的最小值為_____cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=a(x﹣m)+k稱為拋物線y=a(x﹣m)2+k的關(guān)聯(lián)直線.
(1)求拋物線y=x2+6x﹣1的關(guān)聯(lián)直線;
(2)已知拋物線y=ax2+bx+c與它的關(guān)聯(lián)直線y=2x+3都經(jīng)過(guò)y軸上同一點(diǎn),求這條拋物線的表達(dá)式;
(3)如圖,頂點(diǎn)在第一象限的拋物線y=﹣a(x﹣1)2+4a與它的關(guān)聯(lián)直線交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,連結(jié)AC、BC.當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P點(diǎn)是某海域內(nèi)的一座燈塔的位置,船A停泊在燈塔P的南偏東53°方向的50海里處,船B位于船A的正西方向且與燈塔P相距20海里.(本題參考數(shù)據(jù)sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33.)
(1)試問(wèn)船B在燈塔P的什么方向?
(2)求兩船相距多少海里?(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算
(1)x2+6x﹣2=0(配方法)
(2)已知關(guān)于x的方程2x2+(k﹣2)x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)腰長(zhǎng)為4cm,底邊長(zhǎng)為3cm的等腰三角形,現(xiàn)在要利用這個(gè)等腰三角形加工出一個(gè)邊長(zhǎng)比是1:2的平行四邊形,使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角恰好是這個(gè)等腰三角形的底角,平行四邊形的其他頂點(diǎn)均在三角形的邊上,則這個(gè)平行四邊形的較短的邊長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<4),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ∥BC;
(2)設(shè)△AQP的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由;
(4)如圖②,連接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQP′C,那么是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQP′C為菱形?若存在,求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B,F的坐標(biāo)分別為(-4,4),(2,1).若矩形ABCD和矩形EFGO是位似圖形,點(diǎn)P(點(diǎn)P在GC上)是位似中心,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A. (0,3)
B. (0,2.5)
C. (0,2)
D. (0,1.5)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上,且OE=OB,連接DE.
(1)求證:DE⊥BE;
(2)如果OE⊥CD,求證:BD·CE=CD·DE.
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