Question

如圖，CD切⊙O于點(diǎn)D，連接OC，交⊙O于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作弦AB⊥OD，點(diǎn)E為垂足，已知⊙O的半徑為10，sin∠COD=

4

5

．求：
（1）弦AB的長(zhǎng)； 
（2）CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用sin∠COD=

4

5

=

BE

OB

，已知OB=10，所以BE=8，所以AB=16；
（2）根據(jù)題意可知△OBE∽△OCD，根據(jù)相似三角形的比求CD的長(zhǎng)；

解答：解：（1）∵AB⊥OD，
∴∠OEB=90°
在Rt△OEB中，BE=OB×sin∠COD=10×

4

5

=8
由垂徑定理得AB=2BE=16
所以弦AB的長(zhǎng)是16；

（2）方法（一）
在Rt△OEB中，OE=

OB2-BE2

=

102-82

=6．
∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴∠ODC=90°，
∴∠OEB=∠ODC．
∵∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴

CD

BE

=

OD

OE

，
∴

CD

8

=

10

6

，
∴CD=

40

3

．
所以CD的長(zhǎng)是

40

3

．
方法（二）由sin∠COD=

4

5

可得tan∠COD=

4

3

，
在Rt△ODC中，tan∠COD=

CD

OD

，
∴CD=OD•tan∠COD=10×

4

3

=

40

3

；

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了解直角三角形和圓的有關(guān)知識(shí)，學(xué)生做數(shù)學(xué)題時(shí)一定要注意把各知識(shí)系統(tǒng)起來(lái)，才能提高做題能力．