Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A是x軸正半軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），M是線段AB的中點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)B作y軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對稱點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，CD，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．

（1）當(dāng)t=2時，求CF的長；
（2）①當(dāng)t為何值時，點(diǎn)C落在線段BD上；
②設(shè)△BCE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時，將△CDF沿x軸左右平移得到△C′D′F′，再將A，B，C′，D′為頂點(diǎn)的四邊形沿C′F′剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合上述條件的點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，易證Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴ ．

∵AB=2AM=2AC，

∴CF= OA= t．

當(dāng)t=2時，CF=1

（2）

解：①由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴ ，

∴AF= OB=2，

∴FD=AF=2，．

∵點(diǎn)C落在線段BD上，

∴△DCF∽△DBO，

∴ ，即 ，

解得t= ﹣2或t=﹣ ﹣2（小于0，舍去）

∴當(dāng)t= ﹣2時，點(diǎn)C落在線段BD上；

②當(dāng)0＜t＜8時，如題圖1所示：

S= BECE= （t+2）（4﹣ t）=- t2+ t+4；

當(dāng)t＞8時，如答圖1所示：

S= BECE= （t+2）（ t﹣4）= t2﹣ t﹣4

（3）

解：符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（12，4），（8，4）或（2，4）．

理由如下：

在△CDF沿x軸左右平移的過程中，符合條件的剪拼方法有三種：

方法一：如答圖2所示，當(dāng)F′C′=AF′時，點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（12，0），

根據(jù)△C′D′F′≌△AHF′，△BC′H為拼成的三角形，此時C′的坐標(biāo)為（12，4）；

方法二：如答圖3所示，當(dāng)點(diǎn)F′與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（8，0），

根據(jù)△OC′A≌△BAC′，可知△OC′D′為拼成的三角形，此時C′的坐標(biāo)為（8，4）；

方法三：當(dāng)BC′=F′D′時，點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（2，0），

根據(jù)△BC′H≌△D′F′H，可知△AF′C′為拼成的三角形，此時C′的坐標(biāo)為（2，4）

【解析】（1）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF= OA= t，由此求出CF的值；（2）①由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的長度；若點(diǎn)C落在線段BD上，則有△DCF∽△DBO，根據(jù)相似比例式列方程求出t的值；
②有兩種情況，需要分類討論：當(dāng)0＜t≤8時，如題圖1所示；當(dāng)t＞8時，如答圖1所示．（3）本問涉及圖形的剪拼．在△CDF沿x軸左右平移的過程中，符合條件的剪拼方法有三種，需要分類討論，分別如答圖2﹣4所示．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似圖形和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等；④三邊對應(yīng)成比例；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．