Question

（2013•許昌一模）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓O交BC于D，AC于E，連接AD、BE交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，DH⊥AB于H，交BE于G，下列結(jié)論：①BD=CD；②DF是⊙O的切線；③∠DAC=∠BDH；④DG=

1

2

BM．成立的個(gè)數(shù)（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及三線合一定理即可判斷；
②根據(jù)垂徑定理可以證得OD⊥BE，然后證明DF∥BE，即可證得：DF⊥OD，則依據(jù)切線的判定定理可以證得；
③利用DH是直角三角形的斜邊上的高線，則∠DAB=∠BDH，結(jié)合∠BAD=∠DAC即可證得；
④根據(jù)等角對(duì)等邊，可以證得DG=BG，DG=GM即可求證．

解答：解：①∵AB為直徑，
∴∠BDA=90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=DC．∠BAD=∠DAE，
故①正確；
②連接OD．
∵∠BAD=∠DAE，
∴

BD

=

DE

，
∴OD⊥BE，
∵AB是直徑，
∴BE⊥AC
又∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴DF⊥OD，
∴DF是切線．故②正確；
③∵直角△ABD中，DH⊥AB，
∴∠DAB=∠BDH，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠BDH．
故③正確；
④∵∠DBE=∠DAC（同弧所對(duì)的圓周角相等），
∠BDH=∠DAC（已證），
∴∠DBE=∠BDH
∴DG=BG，
∵∠BDH+∠HDA=∠DBE+∠DMB=90°，
∴∠GDM=∠DMG
∴DG=GM
∴DG=GM=BG=

1

2

BM．
故④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三線合一定理，以及圓周角定理，正確理解定理，找到圖形中的相等的角是關(guān)鍵．