【題目】 如圖,在平面直角坐標系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點E是直角△ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外),過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當線段EF的長度最大時,求點E、F的坐標;
(3)在(2)的條件下:在拋物線上是否存在一點P,使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在,請求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)點E(,),F(,);(3)存在,P1(,),P2(,),P3(,).
【解析】
(1)根據(jù)AC=BC,求出BC的長,進而得到點A,B的坐標,利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;
(2)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,用含m的式表示出E,F的坐標,求出EF的長度最大時m的值,即可求得E,F的坐標;
(3)分兩種情況:∠E-90°和∠F=90°,分別得到點P的縱坐標,將縱坐標代入拋物線解析式,即可求得點P的值.
解:(1)∵OA=1,OC=4,AC=BC,
∴BC=5,
∴A(﹣1,0),B(4,5),
拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點,
∴,解得:,
∴y=x2﹣2x﹣3;
(2)設(shè)直線AB解析式為:y=kx+b,
直線經(jīng)過點A,B兩點,
∴,解得:,
∴直線AB的解析式為:y=x+1,
設(shè)點E的坐標為(m,m+1),則點F(m,m2﹣2m﹣3),
∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣(m﹣)2+,
∴當EF最大時,m=,
∴點E(,),F(,);
(3)存在.
①當∠FEP=90°時,點P的縱坐標為,
即x2﹣2x﹣3=,解得:x1=,x2=,
∴點P1(,),P2(,),
②當∠EFP=90°時,點P的縱坐標為,
即x2﹣2x﹣3=,解得:x1=,x2=(舍去),
∴點P3(,),
綜上所述,P1(,),P2(,),P3(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了改善辦學(xué)條件,計劃購置一批電子白板和一批筆記本電腦,經(jīng)投標,購買1塊電子白板比買3臺筆記本電腦多3000元,購買4塊電子白板和5臺筆記本電腦共需80000元.
(1)求購買1塊電子白板和一臺筆記本電腦各需多少元?
(2)根據(jù)該校實際情況,需購買電子白板和筆記本電腦的總數(shù)為396,要求購買的總費用不超過2700000元,并購買筆記本電腦的臺數(shù)不超過購買電子白板數(shù)量的3倍,該校有哪幾種購買方案?
(3)上面的哪種購買方案最省錢?按最省錢方案購買需要多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖,將拋物線向右平移個單位長度,再向下平移個單位長度后,得到的拋物線,平移后的拋物線與軸分別交于,兩點,與軸交于點.拋物線的對稱軸與拋物線交于點.
(1)請你直接寫出拋物線的解析式;(寫出頂點式即可)
(2)求出,,三點的坐標;
(3)在軸上存在一點,使的值最小,求點的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,點E,F分別在邊BC,AC上,沿EF所在的直線折疊∠C,使點C的對應(yīng)點D恰好落在邊AB上,若△EFC和△ABC相似,則BD的長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是⊙的直徑,點分別在兩個半圓上(不與點重合),的長分別是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根.
(1)的值為_____;
(2)連接三者之間的等量關(guān)系為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,在建立平面直角坐標系后,△ABC的頂點均在格點上.
(1)畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A1B1C1;
(2)畫出△ABC向上平移5個單位后的△A2B2C2,并求出平移過程中△ABC掃過的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實踐
在數(shù)學(xué)活動課上,老師出示了這樣一個問題:如圖1,在中,,,,點為邊上的任意一點.將沿過點的直線折疊,使點落在斜邊上的點處.問是否存在是直角三角形?若不存在,請說明理由;若存在,求出此時的長度.
探究展示:勤奮小組很快找到了點、的位置.
如圖2,作的角平分線交于點,此時沿所在的直線折疊,點恰好在上,且,所以是直角三角形.
問題解決:
(1)按勤奮小組的這種折疊方式,的長度為 .
(2/span>)創(chuàng)新小組看完勤奮小組的折疊方法后,發(fā)現(xiàn)還有另一種折疊方法,請在圖3中畫出來.
(3)在(2)的條件下,求出的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=a(x-1)2+k與x軸兩個交點間的距離為2,將拋物線y=a(x-1)2+k向上平移n個單位,平移后的拋物線經(jīng)過點(m,n),則m的值是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點,與y軸交于點C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為﹣8、2.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)直線l繞點A以AB為起始位置順時針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止,l與線段BC交于點D,P是AD的中點.
①求點P的運動路程;
②如圖2,過點D作DE垂直x軸于點E,作DF⊥AC所在直線于點F,連結(jié)PE、PF,在l運動過程中,∠EPF的大小是否改變?請說明理由;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)EF,求△PEF周長的最小值.
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