Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知拋物線y＝x2－2x，其頂點(diǎn)為A.

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；

(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動點(diǎn)”

①試求拋物線y＝x2－2x的“不動點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②平移拋物線y＝x2－2x，使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動點(diǎn)”，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】(l)拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，－1)，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，右側(cè)的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新拋物線的表達(dá)式是y＝(x＋1)2－1.

【解析】

（1），故該拋物線開口向上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）①設(shè)拋物線“不動點(diǎn)”坐標(biāo)為，則，即可求解；②新拋物線頂點(diǎn)為“不動點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)，則新拋物線的對稱軸為：，與軸的交點(diǎn)，四邊形是梯形，則直線在軸左側(cè)，而點(diǎn)，點(diǎn)，則，即可求解.

(l)，

拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，－1)，

拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，右側(cè)的部分是上升的.

(2)①設(shè)拋物線y＝x2－2x的“不動點(diǎn)”坐標(biāo)為(t，t).

則t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3.

所以，拋物線y＝x2－2x的“不動點(diǎn)”的坐標(biāo)是(0，0)、(3，3).

②∵新拋物線的頂點(diǎn)B是其“不動點(diǎn)”，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，m)

∴新拋物線的對稱軸為直線x＝m，與x軸的交點(diǎn)為C(m，0)

∵四邊形OABC是梯形，

∴直線x＝m在y軸左側(cè).

∵BC與OA不平行

∴OC∥AB.

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，一1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，m)，

m＝－1.

∴新拋物線是由拋物線y＝x2－2x向左平移2個(gè)單位得到的，

∴新拋物線的表達(dá)式是y＝(x＋1)2－1.