Question

【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），與y軸交于點(diǎn)C，且O，C兩點(diǎn)間的距離為3，x1x2＜0，|x1|+|x2|=4，點(diǎn)A，C在直線y2=﹣3x+t上．

（1）當(dāng)y1隨著x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍；

（2）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個(gè)單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個(gè)單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)，求2n2﹣5n的最小值．

Answer 1

【答案】（1）若c=3，當(dāng)y隨x增大而增大時(shí)，x≤﹣1；若c=﹣3，當(dāng)y隨x增大而增大時(shí)，x≥1；（2）當(dāng)n=時(shí)，2n2﹣5n的最小值為﹣．

【解析】

（1）分別利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，-3），即c=-3，得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式，進(jìn)而得出答案；

（2）利用①若c=3，則y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，y2=-3x+3，得出y1向左平移n個(gè)單位后，則解析式為：y3=-（x+1+n）2+4，進(jìn)而求出平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)得出n的取值范圍，②若c=-3，則y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，y1向左平移n個(gè)單位后，則解析式為：y3=（x-1+n）2-4，進(jìn)而求出平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)得出n的取值范圍，進(jìn)而利用配方法求出函數(shù)最值．

（1）∵x1x2＜0，

∴x1，x2異號(hào)，

①若C（0，3），即c=3，

把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，則0+t=3，即t=3，

∴y2=﹣3x+3，

把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，則﹣3x1+3=0，

即x1=1，

∴A（1，0），

∵x1，x2異號(hào)，x1=1＞0，∴x2＜0，

∵|x1|+|x2|=4，

∴1﹣x2=4，

解得：x2=﹣3，則B（﹣3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，，

解得：，

∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

則當(dāng)x≤﹣1時(shí)，y隨x增大而增大．

②若C（0，﹣3），即c=﹣3，

把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，則0+t=﹣3，即t=﹣3，

∴y2=﹣3x﹣3，

把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，

則﹣3x1﹣3=0，

即x1=﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵x1，x2異號(hào)，x1=﹣1＜0，∴x2＞0

∵|x1|+|x2|=4，

∴1+x2=4，

解得：x2=3，則B（3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，，

解得：，

∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x增大而增大，

綜上所述，若c=3，當(dāng)y隨x增大而增大時(shí)，x≤﹣1；

若c=﹣3，當(dāng)y隨x增大而增大時(shí)，x≥1；

（2）①若c=3，則y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，

y1向左平移n個(gè)單位后，則解析式為：y3=﹣（x+1+n）2+4，

則當(dāng)x≤﹣1﹣n時(shí)，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個(gè)單位后，則解析式為：y4=﹣3x+3﹣n，

要使平移后直線與P有公共點(diǎn)，則當(dāng)x=﹣1﹣n，y3≥y4，

即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，

解得：n≤﹣1，

∵n＞0，∴n≤﹣1不符合條件，應(yīng)舍去；

②若c=﹣3，則y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，

y1向左平移n個(gè)單位后，則解析式為：y3=（x﹣1+n）2﹣4，

則當(dāng)x≥1﹣n時(shí)，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個(gè)單位后，則解析式為：y4=﹣3x﹣3﹣n，

要使平移后直線與P有公共點(diǎn)，則當(dāng)x=1﹣n，y3≤y4，

即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，

解得：n≥1，

綜上所述：n≥1，

2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，

∴當(dāng)n=時(shí)，2n2﹣5n的最小值為：﹣．