Question

如圖，△PQR和△P′Q′R′，是兩個全等的等邊三角形，它們的重疊部分是一個六邊形ABCDEF，設這個六邊形的邊長為AB=a₁，BC=b₁，CD=a₂，DE=b₂，EF=a₃，F(xiàn)A=b₃．求證：a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²．

Answer 1

解：如右圖所示，
∵△PQR和△P′Q′R′是等邊三角形，
∴∠P=∠Q=∠R=∠P′=∠Q′=∠R′=60°，
又∵∠ABP′=∠CBQ，∠BCQ=∠DCQ′，∠Q′DC=∠EDR，
∠DER=∠FER′，∠EFR′=∠AFP，∠FAP=∠BAP′，
∴△AP′B∽△CQB∽△CQ′D∽△ERD∽△ER′F∽△APF，
它們的面積比是相似比的平方，設比例系數(shù)為k，
則S_△AP′B=AB²k=a₁²•k，S_△CQB=CB²•k=b₁²•k，
S_△CQ′D=CD²•k=a₂²•k，S_△ERD=ED²•k=b₂²•k，
S_△ER′F=EF²•k=a₃²•k，S_△APF=FA²•k=b₃²•k，
由于兩正三角形重疊部分應有相等面積，
故（a₁²+a₂²+a₃²）k=（b₁²+b₂²+b₃²）k，
即a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²．
分析：根據(jù)△PQR和△P′Q′R′是等邊三角形，求證△AP′B∽△CQB∽△CQ′D∽△ERD∽△ER′F∽△APF，利用它們的面積比是相似比的平方，設比例系數(shù)為k，由于兩正三角形重疊部分應有相等面積，故（a₁²+a₂²+a₃²）k=（b₁²+b₂²+b₃²）k，即可證明．
點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握，但是此題步驟繁瑣，特別是多個三角形相似，而且用到相似比是面積比的平方，更給此題增加了難度，因此屬于難題，