Question

【題目】如圖，已知和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)(如圖1)，求證：為的中點(diǎn)；

（2）將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)(如圖2)，求證：為等腰直角三角形；

（3）將圖1中繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）成立，證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）利用ASA證明，可得，易證結(jié)論；

（2）由及、為等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，由SAS可證，由全等三角形的性質(zhì)易證為等腰直角三角形；

（3）由及、為等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，由直角三角形兩銳角互余及三角形內(nèi)角和定理可知，利用證明，由全等三角形的性質(zhì)易證為等腰直角三角形.

證明：（1）∵

∴(兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)

∴，在和中

∴

∴

∴為的中點(diǎn)

（2）∵

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∵且

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴為等腰直角三角形

（3）（2）中的結(jié)論仍成立.

∵

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵，

，

∴

∴

∵

∴

∴，

∴

∴為等腰直角三角形