Question

【題目】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，

（1）猜想BE與DG的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）用含a、b的式子表示DE2+BG2．

Answer 1

【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由見解析；（2）BG2+DE2＝2a2+2b2

【解析】

（1）由“SAS”可證△DCG≌△BEC，可得BE=DG，BE⊥DG；
（2）由勾股定理可得BD2=DM2+BM2，EG2=ME2+MG2，則BD2+EG2=DM2+BM2+ME2+MG2，可得BD2+EG2=BG2+DE2，即可求解．

解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，

理由如下：如圖：連接BD，EG，BE，DG的交點為M，

∵四邊形ABCD，四邊形CEFG 為正方形，

∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG，

∴∠BCE＝∠DCG，且BC＝DC，CG＝CE，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴DG＝BE，∠CBE＝∠CDG，

∵∠DBE+∠EBC+∠BDC+∠BCD＝180°，

∴∠DBE+∠EBC+∠BDC＝90°，

∵∠DBE+∠CDE+∠BDC+∠BMD＝180°，

∴∠DCB＝∠DMB＝90°，

∴BE⊥DG，

（2）∵BE⊥DG

∴BD2＝DM2+BM2，EG2＝ME2+MG2，

∴BD2+EG2＝DM2+BM2+ME2+MG2，

∴BD2+EG2＝BG2+DE2，

∴AB2+AD2+EC2+CG2＝BG2+DE2．

∴BG2+DE2＝2a2+2b2．