Question

閱讀下面的文字，回答后面的問題．
求3+3²+3³+…+3¹⁰⁰的值．
解：令S=3+3²+3³+…+3¹⁰⁰（1），將等式兩邊提示乘以3得到：3S=3²+3³+3⁴+…+3¹⁰¹（2），（2）-（1）得到：2S=3¹⁰¹-3
∴S=

3101-3

2

∴3+3²+3³+…+3¹⁰⁰=

3101-3

2

問題（1）2+2²+…+2²⁰¹¹的值為

2²⁰¹²-2

；（直接寫出結(jié)果）
（2）求4+12+36+…+4×3⁵⁰的值；
（3）如圖，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜邊OB為腰作第二個等腰Rt△OBC，再以斜邊OC為腰作第三個等腰Rt△OCD，如此下去…一直作圖到第8個圖形為止．求所有的等腰直角三角形的所有斜邊之和．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中所給的S的表達(dá)式及同底數(shù)冪的乘法法則求出2S的表達(dá)式，再把兩式相減即可求出S的值；
（2）先求出3+32+33+…+340的值，再乘以4即可求出4+12+36+…+4×340的值；
（3）由題意可知一直作圖到第10個圖形為止的所有的等腰直角三角形的所有邊長之和可以根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求出 2S的表達(dá)式，再把兩式相減即可求出S的值，從而所有的等腰直角三角形的所有邊長之和．

解答：解：（1）2²⁰¹²-2（3分）

（2）令S=4+12+36+…+4×3⁵⁰ ①，
將等式兩邊提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×3⁵¹ ②，
②-①得到：2S=4×3⁴¹-4
∴S=2×3⁵¹-2
∴4+12+36+…+4×3⁵⁰=2×3⁵¹-2（9分）

（3）

( 2 )9- 2

2 -1

（12分）

點評：本題考查的是有理數(shù)的乘方及同底數(shù)冪的乘法法則，根據(jù)題意求出乘以底數(shù)后和的表達(dá)式是解答此題的關(guān)鍵．