【題目】已知:在△ABC中,BC>AC,動(dòng)點(diǎn)D繞△ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),且AD=BC,連接DC.過AB,DC的中點(diǎn)E,F作直線,直線EF與直線AD,BC分別相交于點(diǎn)M,N.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時(shí),點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合,取AC的中點(diǎn)H,連接HE,HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì),可得∠AMF與∠ENB有何數(shù)量關(guān)系?(不需證明).
(2)當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí),∠AMF與∠ENB有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)分別寫出猜想,并任選一種情況證明.
【答案】(1)∠AMF=∠ENB;(2)∠AMF=∠ENB,∠AMF+∠ENB=180°,證明見解析.
【解析】
(1) 取AC的中點(diǎn)H,連接HE、HF,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí),由F為DC的中點(diǎn),E為AB的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到FH∥AD,且FH=AD;HE∥BC,且HE=BC,得到∠HFE=∠AMF,∠HEF=∠ENB,HE=HF,則∠HEF=∠HFE,所以∠AMF=∠BNE;當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖3中的位置時(shí),同理可證得∠AMF=∠BNE.
(2) 與(1)相同,都需要作出兩條輔助線,兩次運(yùn)用中位線定理解答.
(1)圖1:∠AMF=∠ENB.
(2)圖2:∠AMF=∠ENB;
圖3:∠AMF+∠ENB=180°.
當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí),
證明:如圖,取AC的中點(diǎn)H,
連接HE,HF.
∵F是DC的中點(diǎn),H是AC的中點(diǎn),
∴HF∥AD,HF=AD,
∴∠AMF=∠HFE,
同理,HE∥CB,HE=CB,∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC,∴HF=HE,∴∠HEF=∠HFE,
∴∠ENB=∠AMF.
當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖3中的位置時(shí),
用同樣的方法可證明∠HFE=∠AME,∠HEF=∠BNE,
而∠HFE=∠HEF,
∴∠AME=∠BNE,
而∠AMF+∠AME=180°,
∴∠AMF+∠BNE=180°.
故答案為:∠AMF=∠BNE或∠AMF+∠BNE=180°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn),點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn).
(1)當(dāng)AC=8,BC=6時(shí),求線段DE的長度;
(2)當(dāng)AC=m,BC=n(m>n)時(shí),求線段DE的長度;
(3)從(1)(2)的結(jié)果中,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請(qǐng)直接寫出來.
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【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù).
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù).
張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題:
變式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù).
(1)請(qǐng)你解答以上的變式題.
(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí),請(qǐng)你探索x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某市舉辦的“讀好書,講禮儀”活動(dòng)中,東華學(xué)校積極行動(dòng),各班圖書角的新書、好書不斷增多,除學(xué)校購買外,還有師生捐獻(xiàn)的圖書.下面是七年級(jí)(1)班全體同學(xué)捐獻(xiàn)圖書的情況統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)你根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解答下列問題:
(1)該班有學(xué)生多少人?
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)七(1)班全體同學(xué)所捐獻(xiàn)圖書的中位數(shù)和眾數(shù)分別是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線a∥b,且a與b之間的距離為4,點(diǎn)A到直線a的距離為2,點(diǎn)B到直線b的距離為3,AB.試在直線a上找一點(diǎn)M,在直線b上找一點(diǎn)N,滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短,則此時(shí)AM+NB=( 。
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),延長ME交射線CD于點(diǎn)N,連接MD,AN.
(1)求證:四邊形AMDN是平行四邊形;
(2)填空:①當(dāng)AM的值為 時(shí),四邊形AMDN是矩形;②當(dāng)AM的值為 時(shí),四邊形AMDN是菱形。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,試判斷CD與BE的大小關(guān)系和位置關(guān)系,并進(jìn)行證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊為的正方形ABCD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形AEFH,則圖中陰影部分的面積為( )
A. - B. 3- C. 2- D. 2-
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,AB,CD交于點(diǎn)O,AC∥DB,AO=BO,E,F(xiàn)分別為OC,OD的中點(diǎn),連接AF,BE,求證AF∥BE.
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