Question

12．已知關于x的方程$\frac{{x}^{2}+2px+5}{2x-1}$=5x+p有且只有一個正實數根，則p的范圍為p≥-5．

Answer 1

分析 先把分式方程化為整式方程，再根據只有一個正實數根，得出△≥0且兩根之積≤0，從而得出p的取值范圍．

解答 解：原方程變形為9x²-5x-p-5=0，
∵關于x的方程$\frac{{x}^{2}+2px+5}{2x-1}$=5x+p有且只有一個正實數根，
∴設方程的兩個實根為α，β，
即△≥0且α•β≤0，
∴25+36（p+5）≥0且-p-5≤0，
解得p≥-5，
故答案為p≥-5．

點評 本題考查了根的判別式，以及根與系數的關系，總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．