Question

8．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，EF與BD交于G，且∠DEF=60°，若AD=3，AE=2，則sin∠BEF=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 作EH⊥AD于H，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AH，求出DH，由勾股定理EH，由勾股定理求出DE，由三角形的外角性質(zhì)得出∠BEF=∠ADE，求出sin∠ADE即可．

解答 解：作EH⊥AD于H，如圖所示：
則∠AEH=90°-∠A=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴EH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵AD=3，
∴DH=AD-AH=2，
在Rt△DEH中，根據(jù)勾股定理得，DE=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠DEF+∠BEF=∠A+∠ADE，∠DEF=60°=∠A，
∴∠BEF=∠ADE，
∴sin∠BEF=sin∠ADE=$\frac{EH}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．